Вертикально расположенный цилиндрический сосуд перекрыт двумя прилегающими друг к другу поршнями, имеющими одинаковую массу и находящимися в равновесии. Объём под поршнями заполнен гелием с давлением $P$, снаружи — воздух с атмосферным давлением $P_a$. Верхний поршень герметичен, а через нижний гелий медленно просачивается в пространство между поршнями. Во сколько раз увеличится объём под верхним поршнем, когда нижний поршень опустится до дна? Теплоёмкостью цилиндра и поршней, а также теплопередачей во внешнее пространство пренебречь.

$\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{2P}{P+P_a}$.

Поршни и гелий — Всесибирская 2024/25, заключительный этап, 11 кл., задача 3

Поршни и гелий
Всесибирская 2024/25, заключительный этап, 11 кл. · №25439
5/10PDF: условие с решением
Вертикально расположенный цилиндрический сосуд перекрыт двумя прилегающими друг к другу поршнями, имеющими одинаковую массу и находящимися в равновесии. Объём под поршнями заполнен гелием с давлением $P$, снаружи — воздух с атмосферным давлением $P_a$. Верхний поршень герметичен, а через нижний гелий медленно просачивается в пространство между поршнями. Во сколько раз увеличится объём под верхним поршнем, когда нижний поршень опустится до дна? Теплоёмкостью цилиндра и поршней, а также теплопередачей во внешнее пространство пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
Подсказка
Пока верхний поршень находится в равновесии, давление под ним не меняется; используйте это, а затем запишите закон сохранения энергии для гелия с учётом работы силы тяжести и газа.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ
$\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{2P}{P+P_a}$.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
Начальное равновесие поршней массы $m$ и сечения $S$: $2mg=(P-P_a)S$.

При медленном просачивании гелия верхний поршень остаётся в равновесии. Условие его равновесия при давлении гелия $P_1$: $mg=(P_1-P_a)S$. Отсюда $P_1=P_a+\dfrac{mg}{S}=\dfrac{P+P_a}{2}$, то есть давление $P_1$ не меняется.

Закон сохранения энергии при начальном объёме под поршнями $V$ и конечном объёме под верхним поршнем $V_1$: $$\dfrac32\left(P_1V_1-PV\right)=mg\dfrac{V}{S}-P_1\left(V_1-V\right).$$ Здесь первый член — изменение внутренней энергии гелия, второй — работа силы тяжести над опускающимся нижним поршнем, третий — работа газа при подъёме верхнего поршня. Подставляя $mg/S=(P-P_a)/2$ и $P_1=(P+P_a)/2$, получаем $V_1=\dfrac{PV}{P_1}$, то есть $$\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{2P}{P+P_a}.$$
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Нашли ошибку?

Поршни и гелий

Поршни и гелий

Похожие задачи