Цилиндр с поршнем и баллоном

Разность давлений под поршнем и над ним создаётся весом поршня и не меняется. Для верхнего отсека примените закон Бойля — Мариотта, для нижнего отсека вместе с баллоном — уравнение Клапейрона — Менделеева.

\(P_1'=\dfrac{5+2\sqrt7}{3}\,P\approx3{,}43P\),  \(P_2'=\dfrac{8+2\sqrt7}{3}\,P\approx4{,}43P\).

Пусть равновесное давление в верхнем отсеке после открытия вентиля \(P_1'\), а в нижнем — \(P_2'\). Механическое равновесие поршня обеспечивается как до открытия вентиля, так и после него: \[(P_2'-P_1')S=(P_2-P_1)S=mg,\] где \(m\) и \(S\) — масса и площадь поршня, а \(P_1=P\) и \(P_2=2P\) — первоначальные давления в отсеках.

После открытия вентиля в нижнем отсеке цилиндра и баллоне установится одинаковое давление, при этом суммарное количество газа в соединённых объёмах не изменится. Первоначальное количество молей газа в нижнем отсеке \(\nu_2=\dfrac{2PV}{RT}\), в баллоне \(\nu_3=\dfrac{10PV}{RT}\), конечное число молей в соединённом объёме \(\nu=\nu_2+\nu_3\).

Пусть объём верхнего отсека после открытия вентиля \(V_1\). Закон Бойля — Мариотта для верхнего отсека: \[P_1'V_1=PV.\] Уравнение Клапейрона — Менделеева для соединённого объёма нижнего отсека и баллона: \[P_2'(3V-V_1)=\nu RT=12PV.\] Исключая \(V_1\) и \(P_2'\), получаем уравнение \[P_1'^{\,2}-\frac{10}{3}\,P_1'P-\frac13\,P^2=0,\] положительное решение которого даёт значение \(P_1'=\dfrac{5+2\sqrt7}{3}\,P\). Из уравнения \(P_2'=P_1'+P\) получаем \(P_2'=\dfrac{8+2\sqrt7}{3}\,P\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.