Разлёт осколков гранаты

В системе отсчёта свободно падающего осколка другой движется равномерно. Расстояние растёт до падения первого осколка, затем уменьшается.

\(S_{\max}=\dfrac{v^2(\sqrt3-1)}{g\sqrt2}\).

Горизонтальная скорость осколков \(v_{1x}=v\cos30^\circ\), \(v_{2x}=v\cos60^\circ\); вертикальная скорость \(v_{1y}=v\sin30^\circ-gt\), \(v_{2y}=v\sin60^\circ-gt\). До падения первого осколка второй осколок удаляется от первого с относительной скоростью \[v_{21}=\sqrt{(v\cos60^\circ-v\cos30^\circ)^2+(v\sin60^\circ-v\sin30^\circ)^2}=v\sqrt{2-\sqrt3}=\frac{v(\sqrt3-1)}{\sqrt2},\] которая не зависит от времени.

Падение первого осколка происходит через время \(t_1=\dfrac{2v\sin30^\circ}{g}\).

Второй осколок при этом имеет скорость с составляющими \(v_x=v\cos60^\circ\), \(v_y=v\sin60^\circ-gt_1=v\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}-1\Bigr)<0\). При меньшей горизонтальной скорости второй осколок в момент падения первого сделает меньшее, чем первый, горизонтальное перемещение, и после падения первого будет приближаться к нему. Поскольку дистанция осколков по вертикали также будет сокращаться, расстояние между осколками после падения первого осколка будет уменьшаться.

Максимальное расстояние между осколками достигается в момент падения первого осколка, и оно равно \(S_{\max}=v_{21}t_1=\dfrac{v^2\sqrt{2-\sqrt3}}{g}=\dfrac{v^2(\sqrt3-1)}{g\sqrt2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.