Коаксиальные заряженные цилиндры

Проведите цилиндрическую поверхность соосно системе, лежащую между \(n\)-м и \((n+1)\)-м цилиндрами. Сколько заряда попадает внутрь неё, и как учитывать чередование знаков?

Для решения задачи воспользуемся теоремой Гаусса: выделим мысленно цилиндрическую поверхность, симметрично окружающую \(n\)-й цилиндр, но лежащую внутри \((n+1)\)-го цилиндра. Радиус \(R\) этой поверхности удовлетворяет, очевидно, соотношению \[n < \frac{R}{\Delta R} < n + 1. \qquad (1)\] Длину цилиндра \(L\) выберем единичной. Из симметрии понятно, что система заряженных цилиндров создаёт в любой точке этой поверхности одинаковую по модулю напряжённость \(E\), направленную перпендикулярно поверхности. Поток \(E\) через поверхность равен \(\Phi_E = 2\pi R L E\). По теореме Гаусса он равен \(Q/\varepsilon_0\), где \(Q\) — заряд системы, попавший внутрь выбранной поверхности. \(i\)-й цилиндр вносит внутрь заряд, равный по модулю \(|q_i| = 2\pi i\,\Delta R\,L\sigma\), так что \[Q = q_1 + q_2 + \dots + q_n = 2\pi\,\Delta R\,L\sigma\,(-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + \dots \pm n),\] знак в последнем слагаемом зависит от чётности \(n\).

Если \(n\) чётно, \[Q = 2\pi\,\Delta R\,L\sigma\bigl((2-1) + (4-3) + \dots + (n - (n-1))\bigr) = \pi\,\Delta R\,L\,n\sigma.\] Тогда теорема Гаусса даёт \[2\pi R L E = \frac{\pi\,\Delta R\,L\,n\sigma}{\varepsilon_0} \quad\Leftrightarrow\quad E(R) = \frac{n\sigma}{2 (R/\Delta R)\,\varepsilon_0}.\]

Если \(n\) нечётно, \[Q = 2\pi\,\Delta R\,L\sigma\bigl((0-1) + (2-3) + (4-5) + \dots + ((n-1) - n)\bigr) = -\pi\,\Delta R\,L\,(n+1),\] тогда теорема Гаусса даёт \[E(R) = -\frac{(n+1)\sigma}{2 (R/\Delta R)\,\varepsilon_0}.\]

Используем для \(E(R)\) формулу (1): при больших \(n\) единицей в правой части неравенства можно пренебречь, просто заменив \(R/\Delta R\) на \(n\). Тогда при чётных \(n\) получим \(E = \sigma/2\varepsilon_0\), при нечётных \(n\) получим \(E = -\sigma(n+1)/(2n\varepsilon_0) \simeq -\sigma/2\varepsilon_0\), здесь также пренебрегаем единицей по сравнению с \(n\).