Брус, кубик и пружина

Перейдите в систему отсчёта бруска: в ней на кубик действует сила инерции, которая меняет направление каждую секунду. Что происходит с кубиком, если к моменту переключения силы он возвращается в начальную точку?

Поскольку в задаче требуется исследовать движение кубика относительно бруска, а сила сжатия пружины зависит лишь от взаимного положения бруска и кубика, удобно решать задачу в системе отсчёта, в которой брус неподвижен. Эта система отсчёта неинерциальна, ведь она движется с ускорением вместе с брусом. В ней на кубик, кроме пружины, будет действовать сила инерции, равная \(ma\), где \(m\) — масса кубика. Эта сила в любой момент направлена в сторону, противоположную ускорению бруса, то есть в течение первой секунды — вправо, затем в течение второй секунды — влево и т. д.

Опишем движение кубика в этой системе отсчёта. Первоначально пружина не растянута, кубик находится в положении равновесия (обозначим координату этой точки \(x_0 = 0\)). При «включении» силы инерции \(ma\) положение равновесия кубика на пружинке смещается вправо от точки \(x_0\) на \(\Delta x = ma/k\) (\(k\) — жёсткость пружины), то есть в точку с координатой \(y_1 = \Delta x\). Кубик начинает смещаться в это новое положение равновесия, проскакивает его по инерции вправо и продолжает колебаться около него по гармоническому закону с амплитудой \(\Delta x\) (рис. 1). К началу второй секунды кубик расположится в некоторой точке \(x_1\), так что расстояние между \(x_1\) и \(y_1\) не превышает \(\Delta x\), то есть \(x_1 \in (0,\, 2\Delta x)\).

Далее «включается» сила инерции, направленная влево, так что положение равновесия кубика теперь находится в точке \(y_2 = -\Delta x\). Кубик колеблется около этой точки с амплитудой \(x_1 - y_2\).

Из рис. 1 легко понять, что единственный случай, когда максимальное смещение кубика из начального положения \(x_0\) влево и вправо равны, — это когда \(x_1\) и \(x_0\) совпадают, то есть когда кубик к началу второй секунды оказался в точности в точке \(x_0\), совершив за первую секунду ровно одно колебание на пружине с периодом \(T_0 = 2\pi\sqrt{m/k} = 1\) с. При дальнейшем движении кубик также будет к моменту «переключения» направления силы инерции возвращаться в точку \(x_0\), что соответствует условию задачи (рис. 2). Максимальное отклонение кубика в каждую сторону \(2\Delta x\) равно по условию \(1\) мм.

Когда пружину удлинили в \(4\) раза, её жёсткость уменьшилась в \(4\) раза и стала равна \(k/4\). Действительно, под действием той же силы удлинённая в \(4\) раза пружина растягивается как суммарно четыре исходных пружины под действием той же силы, то есть в \(4\) раза сильнее исходной; это и значит, что жёсткость удлинённой пружины в \(4\) раза меньше жёсткости исходной. Положения равновесия теперь при «переключении» силы инерции сдвигаются относительно начального положения на величину \(\dfrac{ma}{k/4} = 4\Delta x = 2\) мм, то есть в точки \(y'_1 = 2\) мм и \(y'_2 = -2\) мм.

При этом период колебаний кубика на такой пружине стал \(2\pi\sqrt{m/4k} = 2T_0 = 2\) с. Значит, к началу второй секунды кубик совершит только полколебания и окажется в точке \(x'_1 = 4\) мм с нулевой скоростью. В этот момент положение равновесия переместится в точку \(y'_2 = -2\) мм, так что амплитуда следующего колебания составит \(x'_1 - y'_2 = 6\) мм. К началу третьей секунды кубик снова успеет совершить лишь полколебания, а в момент, когда он окажется в точке \(x_2 = -8\) мм, положение равновесия переместится в точку \(y_1\).

Итак, во втором случае кубик будет раскачиваться, так как периодически меняющая сила инерции попала в резонанс с колебаниями кубика на бруске.

Рассуждая аналогично, следующее колебание будет иметь амплитуду \(10\) мм, и после половины такого колебания кубик окажется в точке \(x_3 = 12\) мм и т. д.: за каждую последующую секунду кубик будет отклоняться от \(x_0\) на \(4\) мм больше, чем за предыдущую. К концу же \(120\)-й секунды кубик окажется на расстоянии \(120 \cdot 4 = 480\) мм \(= 48\) см левее точки \(x_0\). Заметим, что при длине пружины \(48\) см именно в этот момент кубик ударится о гвоздь.