Колебания с вынуждающей силой

Направим ось \(Ox\) вдоль оси пружины. Начало координат совместим с центром масс тела, соединённого с недеформированной пружиной. Пусть под действием вынуждающей силы \(F(t) = F_0\cos(\omega t + \beta)\) тело совершает вынужденные колебания с частотой \(\omega\) и амплитудой \(A\). Тогда координата \(x\), скорость и ускорение тела будут соответственно равны: \[x = A\cos(\omega t + \alpha),\quad v_x = -\omega A\sin(\omega t + \alpha),\quad a_x = -\omega^2 A\cos(\omega t + \alpha).\] По условию, \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{m\omega^2A^2}{2}\sin^2(\omega t + \alpha) + \dfrac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t + \alpha).\] Это равенство будет выполняться при любом \(t\), если \(m\omega^2 = k\). Отсюда \(\omega = \sqrt{k/m}\) и \(A = v_0\sqrt{m/k}\). Подставим в уравнение второго закона Ньютона \[ma_x = -\gamma v_x - kx + F\cos(\omega t + \beta)\] записанные выше выражения для \(x\), \(v_x\), \(a_x\), \(\omega\) и \(A\). После преобразований имеем: \[\gamma v_0\sin(\omega t + \alpha) = F_0\cos(\omega t + \beta).\] Если это равенство выполняется при любых \(t\), то \(\alpha\) и \(\beta\) связаны соотношением \(\alpha + \dfrac{\pi}{2} = \beta\), а искомая сила \(F_0 = \gamma v_0\).