Шайба в воронке

Пусть шайба массой \(m\) вращается по окружности радиусом \(R\) со скоростью \(v_0\) на высоте \(h\). Ясно, что \(\dfrac{mv_0^2}{R} = mg\operatorname{tg}\alpha\), отсюда \(v_0^2 = gR\operatorname{tg}\alpha\) (рис. 183). Для профиля воронки \(y = -k/r^2\), где \(k > 0\), имеем \(y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2k}{r^3} = -2y/r\). Тогда \[\operatorname{tg}\alpha = y'|_{r=R} = -2y/R = \dfrac{2(H - h)}{R}.\]

Следовательно, \(v_0^2 = gR\operatorname{tg}\alpha = 2g(H - h)\).

По закону сохранения энергии \[\dfrac{mv^2}{2} + mgH_1 = \dfrac{mv_0^2}{2} + mgh.\] Из последних двух равенств находим \(v = \sqrt{2g(H - H_1)} \approx 3{,}8\) м/с.