Атомный зондирующий микроскоп

Атомно-силовые микроскопы (АСМ) — эффективные инструменты в области науки, которая занимается нанообъектами. Движение кантилевера АСМ можно отслеживать с помощью фотодетектора, который регистрирует луч лазера, отраженный от кантилевера (Рис. 1).

Кантилевер может двигаться только по вертикали и его смещение \(z\) как функция от времени \(t\) может быть описано уравнением

\[m \frac{d^2 z}{dt^2} + b \frac{dz}{dt} + kz = F,\]где \(m\) — масса кантилевера, \(k=m\omega_0^2\) — коэффициент упругости кантилевера, \(b\) — коэффициент затухания, который удовлетворяет соотношениям \(\omega_0 \gg (b/m) > 0\), \(F\) — внешняя сила, действующая на кантилевер со стороны пьезовибратора.

Принципиальная схема АСМ. Справа внизу показана упрощенная модель соединения пьезовибратора и кантилевера

A1. Пусть \(F = F_0 \sin \omega t\), тогда решение дифференциального уравнения, приведенного выше, может быть записано как \(z(t) = A \sin (\omega t - \varphi)\), где \(A> 0\), \(0 \le \varphi \le \pi\). Получите выражения для амплитуды \(A\) и тангенса фазы \(\operatorname{tg} \varphi\). Выразите их через параметры \(F_0\), \(m\), \(\omega\), \(\omega_0\) и \(b\). Получите \(A_r\) и \(\varphi_r\) на резонансной частоте \(\omega = \omega_0\).

A2. Синхронный усилитель, показанный на рисунке, умножает входной сигнал на опорный сигнал, \(V_R=V_{R0}\sin\omega t\), а затем пропускает только постоянную компоненту результирующего сигнала. Пусть входной сигнал описывается уравнением \(V_i=V_{i0}\sin(\omega_i t-\varphi_i)\). Здесь \(V_{R0}\), \(V_{i0}\), \(\omega_i\) и \(\varphi_i\) — заданные положительные константы. Получите условие на \(\omega\) (\(> 0\)) для того чтобы существовал отличный от нуля выходной сигнал. Какова величина выходного сигнала \(V_{out}\) при этой частоте?

A3. Когда сигнал проходит через фазовращатель, опорный сигнал \(V_R=V_{R0}\sin\omega t\) становится таким: \(V_R'=V_{R0}\sin(\omega t+\pi/2)\). Когда \(V_R'\) подается на пьезовибратор, он действует на кантилевер с силой \(F=c_1V_R'\). Затем фотодетектор преобразует смещение кантилевера \(z\) в напряжение \(V_i=c_2 z\), где \(c_1\) и \(c_2\) — константы. Найдите величину постоянной компоненты выходного сигнала \(V_{out}'\) при \(\omega=\omega_0\).

A4. Небольшое изменение массы \(\Delta m\) кантилевера изменяет резонансную частоту на \(\Delta \omega_0\). В результате фаза \(\varphi\) на исходной резонансной частоте \(\omega_0\) сдвигается на \(\Delta\varphi\). Каким должно быть изменение массы, чтобы фаза сдвинулась на \(\Delta \varphi = \pi /1800\) (это типичная чувствительность прибора при измерении фазы)? Параметры кантилевера: \(m = 1.0 \cdot 10^{-12}~\text{кг}\), \(k = 1.0~\text{Н}/\text{м}\) и \(b/m = 1.0 \cdot 10^{3}~\text{с}^{-1}\).

Примечание: \((1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x\) и \(\operatorname{tg} (\pi/2 + x) \approx - 1/x\) (при \(|x| \ll 1\)).

Пусть теперь на кантилевер действуют дополнительные силы (вдобавок к силе пьезовибратора), например, со стороны образца, как показано на рисунке.

B1. Если дополнительная сила \(f(h)\) зависит только от расстояния \(h\) между кантилевером и поверхностью образца, то можно найти новое положение равновесия \(h_0\). В окрестности \(h=h_0\) можно записать \(f(h) = f(h_0) + c_3(h - h_0)\), где \(c_3\) — константа. Найдите новую резонансную частоту \(\omega_0'\). Выразите ее через \(\omega_0\), \(m\) и \(c_3\).

B2. При сканировании поверхности образец двигается горизонтально. Игла кантилевера, несущая заряд \(Q=6e\), проходит вблизи электрона с зарядом \(q=e\), который находится на каком-то расстоянии под поверхностью (электрон, находящийся в потенциальной яме, локализован

в пространстве). Во время сканирования вокруг электрона, максимальное смещение резонансной частоты \(\Delta\omega_0\) (\(= \omega_0^\prime - \omega_0\)). Найдите расстояние \(d_0\) от кантилевера до электрона при этом максимальном смещении. Выразите его через \(m\), \(q\), \(Q\), \(\omega_0\), \(\Delta \omega_0\) и коэффициент пропорциональности в законе Кулона \(k_e\). Рассчитайте \(d_0\) в нанометрах для \(\Delta \omega_0 = 20~\text{с}^{-1}\). Параметры кантилевера \(m = 1.0 \cdot 10^{-12}~кг\), \(k = 1.0~Н/м\). Поляризацией иглы кантилевера и поверхности можно пренебречь. \(k_e = 1/4 \pi \varepsilon_0 = 9.0 \cdot 10^9 \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\) и \(e = -1.6 \cdot 10^{-19}~Кл\).