Поднимающийся воздушный шар

Резиновый воздушный шарик, наполненный гелием, поднимается вверх в небо, где давление и температура уменьшаются с высотой. В задаче считайте, что шарик сохраняет сферическую форму вне зависимости от того, что к нему подвесили. Подвешенный груз считайте точечным. Также считайте, что температура гелия внутри шарика совпадает с температурой окружающего воздуха. Все газы можно считать идеальными. Универсальная газовая постоянная \(R=8.31~Дж/(моль \cdot К)\), молярные массы гелия и воздуха равны \(M_H=4.00\cdot 10^{-3}~кг/моль\) и \(M_A=28.9\cdot 10^{-3}~кг/моль\) соответственно. Ускорение свободного падения \(g=9.8~м/с^2\).

A1. Пусть давление воздуха, окружающие шарик, равно \(P\), а его температура \(T\). Давление внутри шарика больше, чем снаружи из-за натяжения оболочки шарика. Пусть в шарике находится \(n\) молей гелия, а давления внутри равно \(P+ \Delta P\). Найдите силу Архимеда \(F_B\), действующую на шарик. Ответ выразите через \(P\) и \(\Delta P\).

A2. Одним солнечным днем в Корее температура воздуха \(T\) на высоте \(z\) от уровня моря выражалась функцией \(T(z)=T_0(1-z/z_0)\) для \(0 < z < 15~км\), а \(z_0=49~км\) и \(T_0=303~К\). Давление и плотность воздуха на уровне моря были равны \(P_0=1~атм =1.01 \cdot 10^5~Па\) и \(\rho=1.16~кг/м^3\) соответственно. В этом диапазоне высот давление можно описать функцией: \[P(z)=P_0\left(1-\frac{z}{z_0}\right)^\eta\]

Выразите \(\eta\) через \(z_0,\rho_0,P_0\) и \(g\). Вычислите его значение с точностью до двух значащих цифр. Считайте, что ускорение свободного падения не меняется с высотой.

Пусть шарик в не надутом состоянии представляет собой сферу радиуса \(r_0\). Если шарик надуть до радиуса \(r\) (\(\ge r_0\)), то его поверхность приобретает дополнительную упругую энергию из-за растяжения резины. В простой модели при заданной температуре \(T\) эту энергию можно представить следующим образом: \[U=4 \pi r_{0}^{2}\kappa RT \left(2 \lambda^2 +\frac{1}{\lambda^4}-3 \right)\]где \(\lambda \equiv r/r_0\) (\(\ge 1\)), а \(\kappa\) — размерная постоянная (\(моль/м^2\)).

B1. Выразите \(\Delta P\) через параметры, заданные в уравнении выше. Схематично изобразите график \(\Delta P\) как функцию \(\lambda\).

B2. Постоянную \(\kappa\) можно найти, если знать, сколько газа нужно, чтобы надуть шарик. При \(T_0=303~К\) и \(P_0=1.0~атм=1.01 \cdot 10^5~Па\) не надутый шарик (\(\lambda=1\)) содержит \(n_0=12.5~молей\) гелия. Для того чтобы надуть шарик до \(\lambda=1.5\) при тех же \(T_0\) и \(P_0\) нужно \(n=3.6n_0=45~молей\) гелия. Выразите параметр шарика \(a=\kappa/\kappa_0\) через \(n, n_0\) и \(\lambda\), где \(\kappa=r_0P_0/4RT_0\). Вычислите \(a\) с точностью до двух значащих цифр.

Пусть шарик надули так как описано в пункте B2 (\(\lambda=1.5\)), заполнен \(n=3.6n_0=45~молями\) гелия при \(T_0=303~К\) и \(P_0=1.0~атм=1.01 \cdot 10^5~Па\). Полная масса шара с газом и других грузов \(M_T=1.12~кг\). Шарик выпускают в небо от уровня моря.

C1. Пусть шарик достигает некоторой высоты \(z_{f}\)и останавливается. На этой высоте сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. Вычислите высоту \(z_{f}\) и размер шарика \(\lambda_{f}\) на этой высоте с точностью до двух значащих цифр.