Задачи › Воздушный шар, подъёмная сила

Воздушный шар

  1. Воздушный шар

    IPhO 1981/82, 11 кл.
    3/10

    Рассмотрим воздушный шар, наполняемый горячим воздухом, с постоянным объёмом \(V_B = 1{,}1\text{ м}^3\). Масса оболочки шара, объёмом которой можно пренебречь по сравнению с \(V_B\), равна \(m_H = 0{,}187\) кг. Шар запускают там, где температура наружного воздуха \(\vartheta_1 = 20\,^\circ\)C, а нормальное наружное давление воздуха \(p_0 = 1{,}013\cdot 10^5\) Па. При этих условиях плотность воздуха \(\rho_1 = 1{,}2\text{ кг/м}^3\).

    a) До какой температуры \(\vartheta_2\) нужно нагреть воздух внутри шара, чтобы шар только-только начал парить?

    b) Сначала шар удерживают у земли, а воздух внутри нагревают до установившейся температуры \(\vartheta_3 = 110\,^\circ\)C. Шар привязан верёвкой. Вычислите силу, действующую на верёвку.

    c) Пусть шар завязан снизу (плотность воздуха внутри остаётся постоянной). При установившейся температуре воздуха внутри \(\vartheta_3 = 110\,^\circ\)C шар поднимается в изотермической атмосфере с температурой \(20\,^\circ\)C и давлением у земли \(p_0 = 1{,}013\cdot 10^5\) Па. На какую высоту \(h\) может подняться шар при этих условиях?

    d) На высоте \(h\) шар (вопрос c)) выводят из положения равновесия на \(10\) м и затем отпускают. Выясните из качественных соображений, какое движение он будет совершать!

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Плотность воздуха при постоянном давлении обратно пропорциональна абсолютной температуре; в изотермической атмосфере плотность убывает с высотой экспоненциально.

    Ответ

    a) \(\vartheta_2 = 68{,}38\,^\circ\)C (\(T_2 = 341{,}53\) К);  b) \(F_B = 1{,}21\) Н;  c) \(h = 843\) м;  d) гармонические колебания около положения равновесия, затухающие из-за сопротивления воздуха.

    Решение

    a) Условие парения: полная масса шара, состоящая из массы оболочки \(m_H\) и массы воздуха с температурой \(\vartheta_2\), должна быть равна массе вытесненного воздуха с температурой \(\vartheta_1 = 20\,^\circ\)C: \[V_B\cdot\rho_2 + m_H = V_B\cdot\rho_1,\] \[\rho_2 = \rho_1 - \frac{m_H}{V_B}. \tag{1}\] Тогда температуру можно найти из \[\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{T_2}{T_1},\] \[T_2 = \frac{\rho_1}{\rho_2}\cdot T_1 = 341{,}53\text{ К} = 68{,}38\,^\circ\text{C}. \tag{2}\]

    b) Сила \(F_B\), действующая на верёвку, равна разности выталкивающей силы \(F_A\) и силы тяжести \(F_G\): \[F_B = V_B\cdot\rho_1\cdot g - (V_B\cdot\rho_3 + m_H)\cdot g. \tag{3}\] С учётом \(\rho_3\cdot T_3 = \rho_1\cdot T_1\) получаем \[F_B = V_B\cdot\rho_1\cdot g\cdot\left(1 - \frac{T_1}{T_3}\right) - m_H\cdot g = 1{,}21\text{ Н}. \tag{4}\]

    c) Шар поднимается до высоты \(h\), на которой плотность наружного воздуха \(\rho_h\) равна эффективной плотности \(\rho_{\text{eff}}\), вычисляемой по массе воздуха с температурой \(\vartheta_3 = 110\,^\circ\)C (внутри шара) и массе оболочки \(m_H\): \[\rho_{\text{eff}} = \frac{m_2}{V_B} = \frac{\rho_3\cdot V_B + m_H}{V_B} = \rho_h = \rho_1\cdot e^{-\frac{\rho_1\cdot g\cdot h}{p_0}}. \tag{5}\] Решая (5) относительно \(h\), получаем: \[h = \frac{p_0}{\rho_1\cdot g}\cdot\ln\frac{\rho_1}{\rho_{\text{eff}}} = 843\text{ м}. \tag{6}\]

    d) Для малых разностей высот (\(10\) м по сравнению с \(843\) м) экспоненциальное убывание давления (соответственно плотности) с высотой можно приближённо заменить линейной функцией высоты. Поэтому возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия.

    Это условие, при котором возникают гармонические колебания, которые, конечно, затухают из-за сопротивления воздуха.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх