Колеблющаяся вешалка

Для физического маятника равенство периодов при двух разных расстояниях от точки подвеса до центра масс задаёт квадратное уравнение относительно этого расстояния — у него не больше двух корней.

Первый способ.

Движения твёрдого тела в плоскости соответствуют движению двух одинаковых точечных масс, соединённых жёстким невесомым стержнем. Момент инерции тогда определяет расстояние между ними.

Из положения равновесия a) следует, что центр масс находится на перпендикуляре к длинной стороне вешалки, проходящем через её середину. Если представить себе эквивалентные массы и точку подвеса \(P\) расположенными в каждом случае на одной прямой, то лишь два положения \(P\) дают один и тот же период колебаний (см. рисунок). Это можно понять, рассмотрев предельные случаи: 1) обе точки подвеса — в верхней массе и 2) одна точка — в центре масс, а другая — бесконечно высоко над ним. Между этими крайними случаями период колебаний растёт непрерывно. Точка подвеса в углу длинной стороны c) находится дальше всех от центра масс, и поэтому эта точка лежит вне двух точечных масс. Две другие точки подвеса a), b) тогда должны располагаться симметрично относительно центра масс между двумя точечными массами, т. е. центр масс делит этот перпендикуляр пополам.

Из теории оборотного маятника известно, что для каждой точки подвеса физического маятника, вообще говоря, есть вторая точка подвеса маятника, повёрнутого на \(180^\circ\), с тем же периодом колебаний, но на другом расстоянии от центра масс. Расстояние между двумя точками подвеса равно длине соответствующего математического маятника. Поэтому период колебаний получается через соответствующую длину маятника \(s_b + s_c\), где \(s_b = 5\) см и \(s_c = \sqrt{5^2 + 21^2}\) см: \(T = 1{,}03\) с.

Второй способ.

Пусть \(s\) — расстояние между точкой подвеса и центром масс, \(m\) — масса тела, \(\theta\) — момент инерции относительно точки подвеса. Тогда период колебаний \(T\): \[T = 2\pi\sqrt{\frac{\theta}{m\cdot g\cdot s}}, \tag{1}\] где \(g\) — ускорение свободного падения, \(g = 9{,}81\text{ м/с}^2\). Здесь \(\theta\) можно получить из момента инерции \(\theta_0\) относительно центра масс: \[\theta = \theta_0 + m\cdot s^2. \tag{2}\]

Из-за симметричного положения в случае a) центр масс находится на перпендикуляре, восставленном из середины длинной стороны. Теперь из (1) и (2) получаем \[\theta_0 + m\cdot s^2 = \left(\frac{T}{2\cdot\pi}\right)^2\cdot m\cdot g\cdot s \quad\text{для } s = s_a,\ s_b \text{ и } s_c, \tag{3}\] поскольку все периоды колебаний одинаковы. Это квадратное уравнение имеет не более двух различных решений. Поэтому по крайней мере два из трёх расстояний равны. Так как \(s_c > 21\text{ см} > s_a + s_b\), равными могут быть только \(s_a\) и \(s_b\). Таким образом, \[s_a = 5\text{ см}. \tag{4}\] Момент инерции \(\theta_0\) исключаем с помощью (3): \[m\cdot(s_c^2 - s_a^2) = \left(\frac{T}{2\cdot\pi}\right)^2\cdot m\cdot g\cdot(s_c - s_a),\] и получаем \[T = 2\cdot\pi\sqrt{\frac{s_c + s_a}{g}} \tag{5}\] с численным значением \(T = 1{,}03\) с, округлённым до двух знаков после запятой из-за точности \(g\).

Третий способ.

Это решение совпадает с предыдущим вплоть до уравнения (2). Из (1) и (2) при равных периодах колебаний \(T_1 = T_2\) в общем случае имеем \[\frac{\theta_0 + m\cdot s_1^2}{m\cdot g\cdot s_1} = \frac{\theta_0 + m\cdot s_2^2}{m\cdot g\cdot s_2},\] и, следовательно, \[s_2\cdot\left(\theta_0 + m\cdot s_1^2\right) = s_1\cdot\left(\theta_0 + m\cdot s_2^2\right),\] или \[(s_2 - s_1)\cdot(\theta_0 - m\cdot s_1 s_2) = 0. \tag{6}\] Решение (6) включает две возможности: \[s_1 = s_2 \quad\text{или}\quad s_1\cdot s_2 = \frac{\theta_0}{m}.\] Пусть \(2\cdot a\) — длина длинной стороны, \(b\) — высота вешалки. Так как \(T_b = T_c\), имеем либо \(s_b = s_c\), либо \(s_b\cdot s_c = \theta_0/m\), где \(s_c = \sqrt{s_b^2 + a^2}\), что исключает первую возможность. Таким образом, \[s_b\cdot s_c = \frac{\theta_0}{m}. \tag{7}\] Для \(T_a = T_b\) случай \(s_a\cdot s_b = \theta_0/m\) исключается из-за (7), так как \[s_a\cdot s_b < s_c\cdot s_b = \frac{\theta_0}{m}.\] Следовательно, \[s_a = s_b = \frac{1}{2}b, \qquad s_c = \sqrt{\frac{1}{4}b^2 + a^2}\] и \[T = 2\cdot\pi\sqrt{\frac{\dfrac{\theta_0}{m} + s_b^2}{g\cdot s_b}} = 2\pi\sqrt{\frac{s_b\cdot s_c + s_b^2}{g\cdot s_b}}.\] Численный расчёт даёт \(T = 1{,}03\) с.