Воздушный шар из оболочки
3/10Из тонкой оболочки поверхностной плотностью \(\sigma = 50\) г/м\(^2\) изготовили воздушный шар. При каких значениях радиуса \(R\) он сможет подняться в воздух плотностью \(\rho_\text{в} = 1{,}3\) кг/м\(^3\)? Считайте, что шар наполняется гелием, плотность которого \(\rho_\text{г} = 0{,}18\) кг/м\(^3\). Объем шара радиусом \(R\) составляет \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\), а площадь его поверхности равна \(S = 4\pi R^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаШар поднимется, если сила Архимеда больше суммарного веса оболочки и гелия. Как каждая из этих величин зависит от \(R\)?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(R > \dfrac{3\sigma}{\rho_\text{в} - \rho_\text{г}} \approx 0{,}134\) м \(= 13{,}4\) см.
Зонд
4/10Экспериментатор Глюк сконструировал атмосферный зонд, состоящий из шара объёмом \(V = 20\) м\(^3\), заполненного гелием при давлении \(p_0 = 100\) кПа и температуре \(T_0 = 300\) К, и подвешенного к нему набора метеорологических датчиков.
При какой максимальной массе датчиков зонд сможет подняться на высоту 4 км?
На какую максимальную высоту сможет подняться такой шар без датчиков?
График зависимости давления воздуха от высоты над поверхностью земли представлен на рисунке. Считайте, что температура воздуха линейно уменьшается с высотой от 300 К (у поверхности Земли) до 220 К (на высоте 10 км). Оболочка шара является тонкой, нерастяжимой и непроницаемой для газов. Температуру газа внутри шара считать равной температуре окружающего воздуха. Объёмом датчиков при расчётах можно пренебречь. Масса оболочки шара равна \(m_0 = 8\) кг, молярная масса гелия \(M_\text{г} = 4\) г/моль, молярная масса воздуха \(M_\text{в} = 29\) г/моль, универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\) Дж/(К\(\cdot\)моль).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса гелия в шаре при подъёме не меняется, а сила Архимеда определяется плотностью воздуха \(pM_\text{в}/(RT)\) на данной высоте. Во втором пункте условие равновесия превращается в линейную зависимость \(p(h)\) — её удобно нарисовать поверх графика.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_\text{д} = \dfrac{p_1 M_\text{в} V}{RT_1} - \dfrac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0} - m_0 \approx 4{,}9\) кг; 2) \(h_{max} \approx 7{,}6\) км.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеТемпература падает с высотой со скоростью \(k = 8\) К/км. На высоте \(h_1 = 4\) км, следовательно, температура равна \(T_1 = 268\) К, а давление (по графику) \(p_1 \approx 62\) кПа. Плотность воздуха на этой высоте равна \[\rho_\text{в1} = \frac{p_1 M_\text{в}}{RT_1}.\] Масса гелия в шаре \(m_\text{г}\) в процессе подъёма не меняется, поэтому \[m_\text{г} = \frac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0}.\] Запишем условие равновесия зонда на заданной высоте: \[\rho_\text{в1} g V = (m_\text{г} + m_0 + m_\text{д})g,\] откуда \[m_\text{д} = \rho_\text{в1} V - m_\text{г} - m_0 = \frac{p_1 M_\text{в} V}{RT_1} - \frac{p_0 M_\text{г} V}{RT_0} - m_0 = 4{,}9\text{ кг}.\]
Без датчиков шар будет подниматься, пока не станет справедливым новое условие равновесия \[\rho_\text{в} g V = (m_\text{г} + m_0)g.\] Отсюда следует, что \[\frac{p(h) M_\text{в}}{RT(h)} = \frac{m_\text{г} + m_0}{V} \;\Rightarrow\; p(h) = \frac{(m_\text{г} + m_0)R}{M_\text{в} V}\cdot(T_0 - kh) \approx 48\text{ кПа} - 1{,}3\,\frac{\text{кПа}}{\text{км}}\cdot h.\] Для нахождения высоты построим поверх графика зависимости \(p(h)\) прямую, соответствующую полученному уравнению, и найдём, что максимальная высота равна примерно 7,6 км.
Примечание: на графике (толстая линия) изображена функция \(p(h) = p_0(1 - kh/T_0)^{\frac{M_\text{в} g}{kR}}\), задающая распределение давления по высоте при зависимости температуры \(T(h) = T_0 - kh\).
Шарики с гелием и воздухом
5/10Воздушные шарики с массой оболочки 0,5 г надувают смесью гелия и воздуха, так, что каждый шарик взлетает в воздухе. Смесь закачана в баллоны объёмом 60 л с давлением равным 4 атм. Молярная масса смеси в баллоне равна 19 г/моль. Сколько шариков можно надуть из одного баллона? Молярная масса воздуха 29 г/моль. Атмосферное давление 1 атм, температура воздуха 27°C. Упругостью оболочки можно пренебречь. Ответ округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаШарик взлетает, если масса вытесненного воздуха не меньше массы оболочки и газа внутри. Найдите наибольший объём шарика и сравните со всем количеством смеси в баллоне.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ192 шарика.
Дирижабль и влажность воздуха
5/10Дирижабль, наполненный водородом, находится в сухом воздухе, температура которого равна \(20^\circ\)C и давление \(95{,}3\) кПа. Объём дирижабля равен \(31900\) м\(^3\). Молярная масса воздуха равна \(29\) г/моль, универсальная газовая постоянная равна \(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К). Плотность насыщенного водяного пара при температуре \(20^\circ\)C равна \(0{,}017\) кг/м\(^3\).
Какова подъёмная сила, действующая на дирижабль со стороны воздуха? Ответ выразите в кН, округлите до целого числа.
Чему была бы равна подъёмная сила при относительной влажности \(70\%\), той же температуре и давлении? Ответ выразите в кН, округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила Архимеда равна весу вытесненного воздуха. Во влажном воздухе часть давления создаёт водяной пар, молярная масса которого меньше, чем у воздуха.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(355\) кН; 2) \(349\) кН.
Воздушный шар
4/10Нерастяжимая оболочка шара, частично заполненная гелием при атмосферном давлении: подъёмная сила как разность Архимеда и веса газа и оболочки; найти диапазон масс гелия, при которых шар поднимается, и условие на параметры шара.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Аэростат на привязи
2/10Аэростат объемом 1000 м\(^3\) заполнен гелием. Плотность гелия 0,18 кг/м\(^3\), плотность воздуха 1,29 кг/м\(^3\). Масса оболочки аэростата 110 кг. С какой силой натянут трос, удерживающий аэростат у поверхности земли? Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с\(^2\). Ответ выразите в Н.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите условие равновесия аэростата: выталкивающая сила вверх, вес гелия, вес оболочки и натяжение троса вниз.