Пинг-понговый резистор

Диск, лежащий на заземлённой пластине, имеет её потенциал и заряжается так, чтобы силовые линии поля \(V/d\) заканчивались на его верхней грани. Движение в установившемся режиме удобно описывать энергией: за один пролёт вверх и вниз поле совершает работу \(2qV\), и она в точности компенсируется потерями на двух неупругих ударах.

(a) \(F_p = \dfrac12\,\varepsilon_0\pi R^2\dfrac{V^2}{d^2}\), пластины притягиваются;  (b) \(\chi = -\varepsilon_0\dfrac{\pi r^2}{d}\) (заряд диска отрицателен);  (c) \(V_{\text{th}} = \sqrt{\dfrac{2mgd}{|\chi|}}\);  (d) \(\alpha = \dfrac{\eta^2}{1-\eta^2}\,\dfrac{2|\chi|}{m}\), \(\beta = \dfrac{\eta^2}{1+\eta^2}\,2gd\);  (e) \(\gamma = \sqrt{\dfrac{1+\eta}{1-\eta}}\sqrt{\dfrac{|\chi|^3}{2md^2}}\);  (f) \(V_c = \sqrt{\dfrac{1-\eta^2}{1+\eta^2}}\sqrt{\dfrac{mgd}{|\chi|}}\), \(I_c = \dfrac{2\eta\sqrt{1-\eta^2}}{(1+\eta)(1+\eta^2)}\,g\sqrt{m|\chi|}\); \(V_c/V_{\text{th}} = \sqrt{\dfrac{1-\eta^2}{2(1+\eta^2)}} < 1\), вольт-амперная характеристика с гистерезисом (рис. 7)

Что происходит. Нижняя пластина заземлена, диск лежит на ней и поэтому тоже имеет потенциал нуль: силовые линии поля \(V/d\) заканчиваются на его верхней грани и заряжают её. Когда сила поля на этот заряд превысит вес, диск отрывается и летит вверх. Там он касается верхней пластины, мгновенно меняет заряд на противоположный и падает вниз, у нижней пластины снова меняет заряд "— и так далее. Каждый пролёт переносит между пластинами заряд \(2q\), поэтому через конденсатор идёт средний ток. Диск при ударах теряет энергию (\(\eta<1\)), а поле всё время её подкачивает: на двух пролётах (вверх и вниз) оно совершает работу \(2qV\). Установившийся режим "— это баланс: подкачка за круг равна потерям за круг. Ключевые законы: теорема Гаусса, энергия заряда в поле и потеря энергии \(K\to\eta^2K\) при каждом ударе.

Обозначения. Поле между пластинами однородно (краевые эффекты не учитываем), \(E = V/d\), направлено сверху вниз. \(Q\) "— заряд верхней пластины, \(A = \pi R^2\) "— её площадь, \(q\) "— заряд диска, \(K\) "— кинетическая энергия диска, \(y = V/V_{\text{th}}\).

Рис. 1. Заряды на пластинах и поле \(E = V/d\) между ними; диск на нижней пластине принимает на верхнюю грань часть силовых линий.

(a). Применим теорему Гаусса к замкнутой поверхности, охватывающей верхнюю пластину снизу: внутри проводника поле равно нулю, поэтому поток идёт только через нижнюю грань площади \(A\): \[\varepsilon_0 E A = Q, \qquad Q = \varepsilon_0\frac{V}{d}\,\pi R^2 .\] Силу на пластину создаёт только поле другой пластины: собственное поле на заряды пластины не действует. Каждая бесконечная плоскость создаёт у себя поле \(E/2\) (вне системы поля плоскостей гасятся, между ними складываются: \(E/2 + E/2 = E\)), поэтому \[E' = \frac{E}{2} = \frac{V}{2d}, \qquad F_p = QE' = \frac12\,\varepsilon_0\pi R^2\,\frac{V^2}{d^2}.\] Второй способ "— через энергию. Источник держит напряжение \(V\) постоянным. Пусть расстояние изменилось на \(\delta d\), ёмкость \(C = \varepsilon_0\pi R^2/d\) "— на \(\delta C\). Источник проталкивает заряд \(\delta Q = V\,\delta C\) и совершает работу \(V\,\delta Q = V^2\delta C\); запасённая энергия \(W = CV^2/2\) растёт на \(V^2\delta C/2\); остальная часть работы идёт в работу силы, действующей на пластину: \[F_p\,\delta d = V^2\delta C - \frac{V^2\delta C}{2} = \frac{V^2}{2}\,\delta C \quad\Rightarrow\quad F_p = \frac{V^2}{2}\,\frac{dC}{dd} = -\frac12\,\varepsilon_0\pi R^2\,\frac{V^2}{d^2}.\] Знак минус "— сила направлена в сторону уменьшения \(d\): пластины притягиваются. Обратите внимание: сила не равна \(QE\) "— именно половина, потому что на заряд пластины действует поле второй пластины, а не суммарное.

Ответ (a). \[\boxed{\,F_p = \frac12\,\varepsilon_0\pi R^2\,\frac{V^2}{d^2}\,}\quad\text{(притяжение)}\]

(b). Диск лежит на нижней пластине, то есть является частью заземлённого электрода: на его верхней грани, как и на пластине, силовые линии поля \(E = V/d\) заканчиваются. Возьмём маленькую цилиндрическую поверхность, нижняя половина которой внутри проводника (поле \(0\)), верхняя "— в вакууме над гранью площади \(\pi r^2\). Теорема Гаусса даёт \[\varepsilon_0\cdot(-E)\cdot\pi r^2 = q ,\] где минус учитывает, что поле направлено вниз, на проводник, а значит, на грани отрицательный заряд. Тот же результат даёт отношение площадей: \(q = -Q\,\pi r^2/\pi R^2\). Боковая поверхность и нижняя грань вклада не дают, так как \(t \ll r\), а на нижнюю грань поле не попадает. \[q = -\varepsilon_0\frac{V}{d}\,\pi r^2 = \chi V .\]

Ответ (b). \[\boxed{\,\chi = -\varepsilon_0\,\frac{\pi r^2}{d}\,}\] Заряд диска, лежащего на заземлённой пластине, отрицателен, поэтому \(\chi<0\). Дальше нужны только модули: сила, работа поля и ток выражаются через \(|q| = |\chi|V\), где \(|\chi| = \varepsilon_0\pi r^2/d\). Поэтому в ответах (c)–(f) стоит \(|\chi|\); в официальных ответах там написано просто \(\chi\), и понимать его нужно как модуль "— иначе под корнем отрицательное число.

(c). На диск, лежащий на пластине, действуют сила тяжести \(m\vec g\) (вниз), реакция опоры \(\vec N\) (вверх) и электрическая сила \(\vec F_{\text{э}}\) (рис. 2, слева). Она равна давлению поля на поверхностный заряд, умноженному на площадь грани; давление поля у поверхности проводника \(p = \varepsilon_0E^2/2\) (то же, что в пункте (a), на единицу площади: \(F_p/(\pi R^2)\) при \(V/d = E\)): \[F_{\text{э}} = \frac12\,\varepsilon_0E^2\,\pi r^2 = \frac12\,\varepsilon_0\frac{V^2}{d^2}\,\pi r^2 = \frac{|\chi| V^2}{2d}.\] Обратите внимание: это сила на заряд на поверхности проводника: вне проводника поле \(E\), внутри \(0\), и на заряд действует среднее \(E/2\) "— отсюда в знаменателе двойка.

Рис. 2. Силы на диск: на пластине (слева) и в полёте между пластинами (справа). В полёте сила в два раза больше: на отдельный диск действует полное поле, \(|q|E = |\chi|V^2/d\).

Запишем второй закон Ньютона для покоящегося диска в проекции на вертикаль: \(F_{\text{э}} + N - mg = 0\). Диск оторвётся, когда \(N\) обратится в нуль, то есть когда электрическая сила сравняется с весом: \[\frac{|\chi| V_{\text{th}}^2}{2d} = mg \quad\Rightarrow\quad V_{\text{th}} = \sqrt{\frac{2mgd}{|\chi|}} .\]

Ответ (c). \[\boxed{\,V_{\text{th}} = \sqrt{\frac{2mgd}{|\chi|}}\,}\]

Подготовка к (d)–(f). Покинув пластину, диск несёт заряд \(q\) (по модулю \(|\chi|V\)) и движется в поле \(E\); заряд диска мал по сравнению с зарядом пластин (\(r\ll R\)), а эффект изображений по условию не учитываем, так что поле остаётся однородным, поэтому на пролёте на него действует сила \(|q|E = |\chi| V^2/d\), направленная к противоположной пластине (рис. 2, справа). Ускорение вверх и вниз \[a_+ = \frac{|\chi| V^2}{md} - g = g\,(2y^2 - 1), \qquad a_- = \frac{|\chi| V^2}{md} + g = g\,(2y^2 + 1),\] потому что \(|\chi| V^2/(md) = 2g\,y^2\) при \(V = yV_{\text{th}}\). Работа поля на пролёте вверх и на пролёте вниз равна \(|q|V\) (заряд проходит разность потенциалов \(V\) в направлении силы); вклад силы тяжести "— \(-mgd\) вверх и \(+mgd\) вниз. Дальше \(q\) "— модуль заряда диска: \(q = |\chi| V\).

(d). Пусть \(K_s\) "— кинетическая энергия диска сразу после удара о нижнюю пластину в установившемся режиме. Проследим её за один круг (рис. 3):

• вверх: к энергии добавляются работа поля \(qV\) и работа силы тяжести \(-mgd\); перед ударом о верхнюю пластину \(K_s + qV - mgd\);

• удар о верхнюю пластину: скорость умножается на \(\eta\), энергия "— на \(\eta^2\); после него \(\eta^2(K_s + qV - mgd)\);

• вниз: добавляется \(qV + mgd\); перед ударом о нижнюю пластину энергия \(\eta^2(K_s + qV - mgd) + qV + mgd\);

• удар о нижнюю пластину: снова множитель \(\eta^2\), и в установившемся режиме получается ровно \(K_s\).

Рис. 3. Энергия диска за один круг. В установившемся режиме круг замыкается: после удара о нижнюю пластину снова \(K_s\).

Условие замкнутости круга: \[K_s = \eta^2\bigl[\eta^2(K_s + qV - mgd) + qV + mgd\bigr] = \eta^4K_s + \eta^2(1+\eta^2)\,qV + \eta^2(1-\eta^2)\,mgd .\] Соберём \(K_s\) слева, помня \(1 - \eta^4 = (1-\eta^2)(1+\eta^2)\): \[K_s = \frac{\eta^2}{1-\eta^2}\,qV + \frac{\eta^2}{1+\eta^2}\,mgd .\] Режим именно устанавливается: если после \(n\)-го удара о нижнюю пластину энергия \(K_n\), то \(K_{n+1} - K_s = \eta^4(K_n - K_s)\), и разность убывает как геометрическая прогрессия при любом старте.

Рис. 4. Высота диска \(h(t)\) после отрыва от пластины (\(\eta = 0{,}6\), \(V = 1{,}25\,V_{\text{th}}\)): первые круги различаются, затем движение становится периодическим, \(\Delta t\) "— период.

Подставим \(K_s = mv_s^2/2\) и \(qV = |\chi| V^2\): \[v_s^2 = \frac{2K_s}{m} = \frac{\eta^2}{1-\eta^2}\,\frac{2|\chi|}{m}\,V^2 + \frac{\eta^2}{1+\eta^2}\,2gd ,\] что совпадает с формой (1.1).

Ответ (d). \[\boxed{\,\alpha = \frac{\eta^2}{1-\eta^2}\,\frac{2|\chi|}{m}, \qquad \beta = \frac{\eta^2}{1+\eta^2}\,2gd\,}\] Проверка: размерность \(\alpha V^2\) "— \(\text{м}^2/\text{с}^2\), так как \(|\chi| V^2\) "— энергия, а \(2gd\) "— квадрат скорости. Предел \(\eta\to0\): диск после удара останавливается, \(v_s \to 0\), как и должно быть.

(e). При \(qV \gg mgd\) силой тяжести можно пренебречь: ускорение вверх и вниз одно и то же, \[a_0 \approx \frac{qV}{md} .\] Движение вверх и вниз симметрично (рис. 5): диск стартует с скоростью \(v_s\) и, ускоряясь, долетает до другой пластины за время \(t_0\); там удар, и обратный полёт идёт по тому же закону. Значит, скорость сразу после удара у верхней пластины тоже \(v_s\) (в установившемся режиме отображение «скорость после удара \(\to\) скорость после следующего удара» одно и то же для обеих пластин). Скорость у пластины перед ударом \(v_s + a_0t_0\), после удара умножается на \(\eta\): \[v_s = \eta\,(v_s + a_0t_0) \quad\Rightarrow\quad t_0 = \frac{1-\eta}{\eta}\,\frac{v_s}{a_0} .\]

Рис. 5. Стационарное движение при \(qV \gg mgd\) (\(\eta = 0{,}6\), \(V = 3V_{\text{th}}\)): времена подъёма \(t_+\) и спуска \(t_-\) практически равны.

За время \(\Delta t = 2t_0\) диск переносит между пластинами заряд \(2q\), так что \(I = 2q/\Delta t\). Скорость \(v_s\) берём из (d) при \(mgd \ll qV\): \[v_s^2 \approx \frac{2\eta^2}{1-\eta^2}\,\frac{qV}{m}, \qquad \Delta t = 2t_0 = \frac{2(1-\eta)}{\eta}\,\frac{v_s}{a_0} = 2(1-\eta)\sqrt{\frac{2qV}{m(1-\eta^2)}}\;\frac{md}{qV} = 2\sqrt{\frac{1-\eta}{1+\eta}}\;\sqrt{\frac{2md^2}{|\chi| V^2}} .\] Подставим в \(I = 2q/\Delta t\) при \(q = |\chi| V\): \[I = \frac{2|\chi| V}{\Delta t} = |\chi| V\sqrt{\frac{1+\eta}{1-\eta}}\;\sqrt{\frac{|\chi| V^2}{2md^2}} = \sqrt{\frac{1+\eta}{1-\eta}}\;\sqrt{\frac{|\chi|^3}{2md^2}}\;V^2 .\] Проверим согласованность: за время \(t_0\) при ускорении \(a_0\) диск должен пройти расстояние \(d\). Действительно, \(v_st_0 + a_0t_0^2/2 = \dfrac{v_s^2}{a_0}\dfrac{1-\eta^2}{2\eta^2} = d\), поскольку \(v_s^2 = \dfrac{2\eta^2}{1-\eta^2}\,a_0d\) (\(qV/m = a_0d\)).

Ответ (e). \[\boxed{\,\gamma = \sqrt{\frac{1+\eta}{1-\eta}}\;\sqrt{\frac{|\chi|^3}{2md^2}}\,}\] Проверка: \(\Delta t \sim \sqrt{md^2/(qV)}\) "— время, так как \(qV/m\) "— квадрат скорости, и \(\sqrt{md^2/(qV)} = d/\sqrt{qV/m}\) "— расстояние, делённое на скорость; поэтому \(I = 2q/\Delta t\) "— заряд за время, как и должно быть. Предел \(\eta\to1\) (удары упругие): \(\gamma\to\infty\) "— потерь нет, скорость диска ничем не ограничена, а время круга стремится к нулю.

(f). Что происходит при уменьшении \(V\). Установившийся режим держится, пока диск долетает до верхней пластины. Условие долёта "— кинетическая энергия перед верхним ударом положительна: \(K_s + qV - mgd > 0\). С установившимся \(K_s\) из (d): \[\frac{\eta^2}{1-\eta^2}\,qV + \frac{\eta^2}{1+\eta^2}\,mgd + qV - mgd = \frac{qV}{1-\eta^2} - \frac{mgd}{1+\eta^2} > 0 .\] Критическое напряжение \(V_c\) "— когда диск долетает до верхней пластины ровно с нулевой скоростью: \[qV_c = \frac{1-\eta^2}{1+\eta^2}\,mgd, \qquad |\chi| V_c^2 = \frac{1-\eta^2}{1+\eta^2}\,mgd, \qquad V_c = \sqrt{\frac{1-\eta^2}{1+\eta^2}}\sqrt{\frac{mgd}{|\chi|}} .\] При \(V < V_c\) режим сам кончается: разность \(K_n - K_s\) геометрически убывает, \(K_s + qV - mgd < 0\), и на каком-то круге диск не долетает до верха. Сравним с порогом подъёма: \[z_c = \frac{V_c}{V_{\text{th}}} = \sqrt{\frac{1-\eta^2}{2(1+\eta^2)}} < \frac1{\sqrt2} < 1 .\] Значит, между \(V_c\) и \(V_{\text{th}}\) диск, лежащий на пластине, не взлетит (\(F_{\text{э}} < mg\)), а уже летающий "— продолжает лететь: гистерезис.

Ток при \(V = V_c\). На этом напряжении ускорения \(a_\pm = |\chi| V_c^2/(md)\mp g\): \[a_- = \Bigl(\frac{1-\eta^2}{1+\eta^2} + 1\Bigr)g = \frac{2g}{1+\eta^2}, \qquad a_+ = \Bigl(\frac{1-\eta^2}{1+\eta^2} - 1\Bigr)g = -\frac{2\eta^2 g}{1+\eta^2} = -\eta^2a_- ,\] (при подъёме диск тормозится: сила тяжести больше электрической). Диск стартует с верхней пластины с нулевой скоростью и падает с ускорением \(a_-\) (рис. 6): \[t_- = \sqrt{\frac{2d}{a_-}} = \sqrt{\frac{(1+\eta^2)\,d}{g}}, \qquad v_{\text{до}} = a_-t_- , \qquad v_{\text{после}} = \eta a_-t_- .\] Тормозя с \(|a_+| = \eta^2a_-\), диск поднимется до остановки за время \[t_+ = \frac{\eta a_-t_-}{\eta^2a_-} = \frac{t_-}{\eta},\] и пройдёт путь \(\dfrac{(\eta a_-t_-)^2}{2\eta^2a_-} = \dfrac{a_-t_-^2}{2} = d\) "— ровно до верхней пластины, что и требовалось. Период \[\Delta t = t_- + t_+ = \Bigl(1 + \frac1\eta\Bigr)\sqrt{\frac{(1+\eta^2)\,d}{g}} .\]

Рис. 6. Движение при \(V = V_c\) (\(\eta = 0{,}6\)): диск долетает до верхней пластины с нулевой скоростью (касание параболы с линией \(h = d\)), затем падает, отскакивает и снова долетает до верха.

Ток \(I_c = 2q/\Delta t\) с \(q = |\chi| V_c = \sqrt{\dfrac{1-\eta^2}{1+\eta^2}\,|\chi| mgd}\): \[I_c = \frac{2\eta}{1+\eta}\sqrt{\frac{1-\eta^2}{1+\eta^2}}\,\sqrt{|\chi| mgd}\,\sqrt{\frac{g}{(1+\eta^2)\,d}} = \frac{2\eta\sqrt{1-\eta^2}}{(1+\eta)(1+\eta^2)}\;g\sqrt{m|\chi|} .\]

Ответ (f). \[\boxed{\,V_c = \sqrt{\frac{1-\eta^2}{1+\eta^2}}\,\sqrt{\frac{mgd}{|\chi|}}, \qquad I_c = \frac{2\eta\sqrt{1-\eta^2}}{(1+\eta)(1+\eta^2)}\;g\sqrt{m|\chi|}\,}\]

Вольт-амперная характеристика. Тока нет, пока \(V < V_{\text{th}}\) и диск лежит. При \(V = V_{\text{th}}\) диск взлетает, и ток скачком становится равным установившемуся значению при \(V_{\text{th}}\). Дальше при \(V \gg V_{\text{th}}\) ток растёт как \(\gamma V^2\) (рис. 7). При уменьшении \(V\) ток идёт по той же кривой установившегося режима вплоть до \(V_c\), где скачком падает от \(I_c\) до нуля: пока \(V > V_c\), диск, уже летающий, долетает до верха. Точная кривая получается из рассмотрения полёта с произвольным \(V\) (ускорения \(a_\pm\), периоды \(t_+\) и \(t_-\) из квадратных уравнений для \(d = v_0t + a t^2/2\)); на рис. 7 она посчитана численно для \(\eta = 0{,}5\), масштаб тока "— \(g\sqrt{m|\chi|}\).

Рис. 7. Вольт-амперная характеристика для \(\eta = 0{,}5\) в диапазоне \(0 \le V \le 3V_{\text{th}}\): чёрная кривая "— установившийся режим, бирюзовая стрелка "— скачок тока при подъёме диска (\(V = V_{\text{th}}\)), оранжевая "— скачок вниз при \(V = V_c\). Область гистерезиса в крупном масштабе "— на рис. 8.

Рис. 8. Область \(0 \le V \le 1{,}3\,V_{\text{th}}\) в крупном масштабе: при росте \(V\) ток нулевой до \(V_{\text{th}}\) (бирюзовая линия) и скачком возрастает, при убывании \(V\) идёт по чёрной кривой до \(V_c = z_cV_{\text{th}}\) (\(z_c = 0{,}548\)) и скачком падает до нуля.

Проверка. Размерность \(V_c\) та же, что у \(V_{\text{th}}\): \(\sqrt{mgd/|\chi|}\) "— вольты. Предел \(\eta\to1\) (потерь нет): \(z_c\to0\) и \(I_c\to0\) "— диск, однажды запущенный, летает при сколь угодно малом напряжении; чем больше потери (\(\eta\) меньше), тем ближе \(V_c\) к порогу подъёма. Численный счёт методом последовательных перелётов (скорость после удара \(\to\) следующий удар) при \(\eta = 0{,}5\) даёт \(z_c = 0{,}548\) и \(I_c = 0{,}462\,g\sqrt{m|\chi|}\), а \(v_s^2\) воспроизводит формулы (d); при \(V = 3V_{\text{th}}\) точный ток \(22{,}04\) в тех же единицах против \(\gamma V^2 = 22{,}05\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.