Конденсатор в масле

Рассмотрим две части конденсатора, разделённые уровнем \(x\) поднявшегося масла, как параллельно соединённые конденсаторы. Поскольку \(d \ll R, L\), то ёмкость каждого конденсатора можно найти по формуле ёмкости плоского конденсатора: \[C = C_1 + C_2 = \dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S_1}{d} + \dfrac{\varepsilon_0S_2}{d} = \dfrac{2\pi Rx\varepsilon\varepsilon_0}{d} + \dfrac{2\pi R(L - x)\varepsilon_0}{d} = \dfrac{2\pi\varepsilon_0R\bigl[(\varepsilon - 1)x + L\bigr]}{d},\] где \(x\) — высота подъёма масла в зазоре.

Энергия заряженного конденсатора \[W = \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{Q^2d}{4\pi\varepsilon_0R\bigl[(\varepsilon - 1)x + L\bigr]}.\] Электрическая сила, втягивающая масло, равна \[F(x) = -\dfrac{dW}{dx} = \dfrac{(\varepsilon - 1)Q^2d}{4\pi\varepsilon_0R\bigl[(\varepsilon - 1)x + L\bigr]^2}.\] На масло в зазоре конденсатора действуют также сила тяжести \(P(x) = 2\pi Rxd\rho g\) и сила поверхностного натяжения \(F_{\text{пов}}\), не зависящая от \(x\). Запишем условия равновесия масла в обоих случаях: \[F_{\text{пов}} = P\!\left(\dfrac{L}{4}\right)\quad\text{и}\quad F_{\text{пов}} + F\!\left(\dfrac{L}{4}\right) = P\!\left(\dfrac{L}{4}\right).\] Вычтем из второго уравнения первое и подставим выражения для \(F\) и \(P\): \[\dfrac{(\varepsilon - 1)Q^2d}{4\pi\varepsilon_0R\left(\dfrac{(\varepsilon - 1)L}{2} + L\right)^2} = 2\pi Rd\left(\dfrac{L}{2} - \dfrac{L}{4}\right)\rho g,\] откуда \[Q = \dfrac{\pi(\varepsilon + 1)RL}{2}\sqrt{\dfrac{2\varepsilon_0\rho gL}{\varepsilon - 1}}.\]