Диэлектрический гистерезис

Эталонный конденсатор и нелинейный соединены последовательно, поэтому их заряды равны: по \(U_x\) узнаёте заряд, а по \(U_y\) — напряжение на нелинейном конденсаторе. Для второго пункта: чему равна работа генератора по перемещению заряда за период и куда уходит часть этой энергии помимо резистора?

Пункт 1. Сначала рассмотрим точку \(\gamma\) графика зависимости \(U_y(U_x)\). Справедливы соотношения \[100u=\frac{q(\gamma)}{C_0},\qquad u=\frac{R_2}{R_1+R_2}\bigl(E(\gamma)d+100u\bigr), \tag{1}\] где \(q(\gamma)\) — заряд эталонного конденсатора, \(E(\gamma)\) — напряжённость поля в диэлектрической пластине в данный момент. Из условия следует сильное неравенство \[100\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\ll1, \tag{2}\] поэтому второе уравнение из (20) можно переписать так \[u=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot E(\gamma)d. \tag{3}\] Таким образом, напряжение \(U_x=100u\) в точке \(\gamma\) пропорционально заряду \(q(\gamma)\) эталонного конденсатора, а следовательно (поскольку заряды конденсаторов равны) и заряду нелинейного конденсатора. Напряжение \(U_y=u\) в точке \(\gamma\) пропорционально напряжению на нелинейном конденсаторе. Подставляя в формулу (22) соотношение из условия, имеем искомую напряжённость \[E(\gamma)=\frac{C_0u}{S\varepsilon_0}. \tag{4}\] Поверхностная плотность поляризационных зарядов найдётся из соотношения \[\frac{q(\gamma)}{S\varepsilon_0}-\frac{|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|}{\varepsilon_0}=E(\gamma).\] Подставим в это соотношение заряд \(q(\gamma)\) из первого уравнения из (20), а напряжённость поля из формулы (23), после несложных преобразований получим ответ \[|\sigma_\text{p}^{(\gamma)}|=\frac{100C_0u}{S}-\frac{C_0u}{S}=\frac{99C_0u}{S}.\] Теперь рассмотрим точку \(\beta\). Легко видеть, что сумма напряжений на нелинейном и обычном конденсаторе в состоянии, соответствующем этой точке на графике, равна нулю. Этот факт отражает уравнение \[\left(\frac{C_0b}{S\varepsilon_0}-\frac{|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|}{\varepsilon_0}\right)d-b=0, \tag{5}\] ведь заряд нелинейного конденсатора в этом случае равен \(C_0b\) (с точностью до знака). Из условия следует сильное неравенство \(\dfrac{C_0d}{S\varepsilon_0}\gg1\), поэтому пренебрегая последним слагаемым в уравнении (24), получаем искомую поверхностную плотность \[|\sigma_\text{p}^{(\beta)}|=\frac{C_0b}{S}.\] Наконец рассмотрим состояние диэлектрика, соответствующее точке \(\alpha\). Заряды конденсаторов в этом состоянии, очевидно, равны нулю, поэтому напряжённость поля в диэлектрике создаётся только поляризационными зарядами, следовательно справедливо равенство \[\frac{|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|}{\varepsilon_0}\cdot d\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}=a. \tag{6}\] Используя соотношение для сопротивлений, данное в условии, из равенства (25) имеем ответы: \[|\sigma_\text{p}^{(\alpha)}|=\frac{C_0a}{S},\qquad E^{(\alpha)}=\frac{C_0a}{S\varepsilon_0}.\]

Пункт 2. Сильное неравенство \(nRC\ll1\), приведённое в условии, означает, что время, за которое заряды на обкладках конденсатора устанавливаются, значительно меньше периода колебаний напряжения.

Пусть в некоторый момент времени напряжение на выводах генератора и на конденсаторе равно \(-U_0\). При изменении полярности напряжения на выводах генератора, последний перемещает заряд \(Q=2CU_0\), совершая работу \(A_g^{(1/2)}=2CU_0^2\). При обратном изменении полярности на выводах генератора, он совершает такую же работу по перемещению заряда. Таким образом, за период генератор совершает работу \(A_g=2A_g^{(1/2)}=4CU_0^2\), следовательно средняя мощность, потребляемая цепью от генератора, равна \(P_g=4CU_0^2n\).

Заметим, что если бы зависимость заряда конденсатора от напряжения на нём была бы линейной (\(q=CU\)), то вся мощность, потребляемая цепью от генератора, выделялась бы в виде тепла на резисторе. В случае нелинейного конденсатора часть работы, совершаемой генератором, тратится на «переполяризацию диэлектрика». При увеличении заряда нелинейного конденсатора от значения \(-CU_0\) до значения \(CU_0\) электрические силы совершают работу, равную \(A_p^{(1/2)}=\int U\,dq\), численно эта работа равна площади половины петли гистерезиса, располагающейся справа от оси ординат. Очевидно, что работа электрических сил по перезарядке конденсатора за период равна площади всей петли гистерезиса \(A_p=2A_p^{(1/2)}\) — это и есть потери энергии на переполяризацию диэлектрика. Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что на резисторе за период выделяется количество теплоты, равное \(Q=A_g-A_p\). Определение \(A_p\), как уже было сказано, сводится к расчёту площади петли гистерезиса, которая может быть найдена разными способами. Приведём здесь конечный ответ \(A_p=0{,}2\,CU_0^2\). Таким образом, искомая мощность равна \(P_R=3{,}8\,CU_0^2n\).