Задачи › Конденсатор с диэлектриком, диэлектрики

Полый диэлектрический шар с зарядом

  1. Полый диэлектрический шар с зарядом

    Физтех 2023/24, 11 кл.
    5/10

    В центре полого шара с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и радиусами поверхностей \(r\) и \(R\) находится шарик с зарядом \(Q\) (см. рис.). Известна графическая зависимость потенциала \(\varphi\) электрического поля внутри диэлектрика от расстояния \(x\) от центра полого шара в интервале изменений \(x\) от \(R/3\) до \(2R/3\) (см. рис.). Здесь \(\varphi_0\) — потенциал в некоторой точке вне шара. Потенциал в бесконечно удалённой точке принят равным нулю.

    Рисунок
    Рисунок

    1. Считая известными \(r\), \(R\), \(Q\), \(\varepsilon\), найдите аналитическое выражение (в виде формулы) для потенциала внутри диэлектрика при \(x = R/4\).

    2. Используя график, найдите численное значение \(\varepsilon\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Внутри диэлектрика поле создаёт только заряд \(Q\), а поляризационные заряды на границе диэлектрика с полостью и с внешней средой дают вклад в потенциал вне него. Сравните разность потенциалов в двух точках внутри диэлектрика с отношением потенциалов на графике.

    Ответ

    1) \(\varphi\!\left(\dfrac{R}{4}\right) = \dfrac{kQ}{\varepsilon R}\,(\varepsilon + 3)\);  2) \(\varepsilon = 4\).

    Решение

    Разность потенциалов в диэлектрике в \(\varepsilon\) раз меньше, чем без диэлектрика: \[\varphi(x) - \varphi(R) = \frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{kQ}{x} - \frac{kQ}{R}\right).\] Так как \(\varphi(R) = \dfrac{kQ}{R}\), то \(\varphi(x) = \dfrac{kQ}{\varepsilon R}\left(\varepsilon - 1 + \dfrac{R}{x}\right)\). При \(x = R/4\) получаем \(\varphi\!\left(\dfrac{R}{4}\right) = \dfrac{kQ}{\varepsilon R}(\varepsilon + 3)\).

    Пусть \(r_1 = \dfrac{R}{3}\), \(r_2 = \dfrac{2R}{3}\). Тогда \[\frac{\varphi(r_1)}{\varphi(r_2)} = \frac{\varepsilon - 1 + R/r_1}{\varepsilon - 1 + R/r_2} = \frac{\varepsilon + 2}{\varepsilon + 1/2} .\] По графику \(\dfrac{\varphi(r_1)}{\varphi(r_2)} = \dfrac{4}{3}\), отсюда \(\varepsilon = 4\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх