Замкнутая труба с поршнями

Запишите условие неподвижности каждого поршня как ограничение на разность давлений в соседних отсеках. Давления выражаются через температуры уравнением состояния, поэтому и ограничения, и ответ удобно переписать в осях \(T_2\), \(T_3\).

Обозначим давления газа в первом, втором и третьем отсеках через \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\). С помощью уравнения Клапейрона–Менделеева найдём \[P_1 = \frac{\nu R T_1}{V} = 10^5~\text{Па}.\] Условия равновесия поршней: \[|P_1 - P_2| \le F/S, \qquad |P_1 - P_3| \le F/S, \qquad |P_2 - P_3| \le F/S.\] Изобразим на плоскости \(P_2\), \(P_3\) множество точек, координаты которых удовлетворяют этой системе (рис. 4). Первое неравенство «вырезает» на этой плоскости горизонтальную полосу шириной \(2F/S = 10^4\) Па, второе — вертикальную полосу, а вместе они «вырезают» квадрат \(P_{2,3} \in [P_1 - F/S,\ P_1 + F/S]\).

Нетрудно показать, что третье неравенство задаёт полосу, симметричную относительно биссектрисы \(P_2 = P_3\). При этом границы полосы пересекают границы квадрата в точках \((P_1 - F/S;\ P_1)\), \((P_1;\ P_1 + F/S)\), \((P_1;\ P_1 - F/S)\) и \((P_1 + F/S;\ P_1)\), выделяя шестиугольную ячейку, закрашенную на рисунке чёрным.

Чтобы найти возможные значения температуры, воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона. Так как газ во всех отсеках один и тот же, можно записать \[T_2 = \frac{T_1 P_2}{P_1}, \qquad T_3 = \frac{T_1 P_3}{P_1},\] поэтому достаточно изменить масштаб осей множителем \(T_1/P_1\), чтобы получить искомый график (рис. 5).