Как выглядит сверхсветовой объект?

Может ли тело двигаться быстрее света? Ответ — «нет», если объект движется в вакууме. Но ответ может быть «да», если речь идёт о фазовой скорости света в оптически плотной среде с показателем преломления \(n\) (\(n = c/u\), где \(u\) — скорость света в среде, \(c\) — скорость света в вакууме).

Будем называть тело сверхсветовым, если \(u < v < c\), где \(v\) — скорость тела. Один из хорошо известных примеров сверхсветового тела — заряженная частица, порождающая черенковское излучение.

Во всей задаче рассматривается сверхсветовое тело, движущееся с постоянной скоростью \(v\) в оптической среде без дисперсии. \(u\) — скорость света в среде.

Для простоты введём обозначение \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\) и угол \(\theta\), заданный соотношением \(\cos\theta = u/v\), и \[\tg\theta = \sqrt{\frac{v^2}{u^2} - 1}.\]

1. Излучающая сверхсветовая частица

Как показано на рис. 1, излучающая частица движется вдоль оси \(x\) с постоянной скоростью \(v\) (\(v > u\)).

Наблюдатель \(M\) находится на расстоянии \(d\) от оси \(x\).

Выберем ближайшую к наблюдателю точку в качестве точки \(O\) — начала координат на оси \(x\). Момент, когда частица в действительности проходит точку \(x = 0\), примем за \(t = 0\).

Рис. 1.

(1) Пусть свет, излучённый в момент \(t'\), наблюдается в момент \(t\). Выразите \(t\) через \(d\), \(t'\), \(u\) и \(v\). (1,0 балла)

(2) В момент \(t = t_0\) наблюдатель впервые видит частицу в положении \(x_0'\). Найдите видимое положение \(x_0'\) и время наблюдения \(t_0\) этого первого появления через \(d\), \(v\) и \(\theta\). (2,0 балла)

(3) Найдите видимое положение (положения) \(x'\) частицы в произвольный момент времени \(t\). Запишите ответ через \(v\), \(\theta\), \(t\) и \(t_0\). (2,0 балла)

(4) Найдите видимую скорость (скорости) \(v'(t)\) частицы в произвольный момент времени \(t\). Запишите ответ через \(v\), \(\theta\), \(t\) и \(t_0\). (1,0 балла)

(5) Найдите видимую скорость (скорости) \(v'\) частицы в момент её первого появления. (0,2 балла)

(6) Найдите видимую скорость (скорости) \(v'\) частицы на бесконечно больших расстояниях от начала координат \(O\). Запишите ответ через \(v\) и \(u\). (0,2 балла)

(7) Постройте график зависимости видимой скорости \(v'\) от времени \(t\), ясно указав асимптотические значения видимой скорости. (1,0 балла)

(8) Может ли видимая скорость превышать скорость света в вакууме, т. е. \(v' > c\)? (0,2 балла)

2. Излучающий линейный объект

Рассмотрим линейный объект, излучающий свет и движущийся вдоль оси \(x\). Длина линейного объекта в его системе покоя равна \(L\).

A. Продольное движение

В этом разделе считаем, что излучающий линейный объект движется вдоль своей длины по оси \(x\), как показано на рис. 2.

Рис. 2.

(9) Найдите интервал времени от первого появления переднего конца до полного появления всего линейного объекта. Запишите ответ через \(L\), \(\gamma\) и \(v\). (0,3 балла)

(10) Найдите видимую длину (длины) объекта в момент его полного появления. Запишите ответ через \(d\), \(L\), \(\theta\) и \(\gamma\). (0,4 балла)

B. Поперечное движение

В этом разделе считаем, что излучающий линейный объект, расположенный перпендикулярно оси \(x\), движется вдоль оси \(x\), как показано на рис. 3. Пусть наблюдатель находится в начале координат на оси \(x\) (\(d = 0\)). Объект симметричен относительно оси \(x\).

Рис. 3.

(11) Покажите, что в данный момент времени \(t\) видимая форма этого объекта — эллипс или часть (части) эллипса. (0,7 балла)

Найдите следующие величины и выразите их через \(v\), \(\theta\) и \(t\).

(12) Найдите положение \(x_c\) центра симметрии эллипса в данный момент \(t\) через \(v\), \(\theta\) и \(t\). (0,5 балла)

(13) Найдите длины большой и малой полуосей эллипса в данный момент \(t\) через \(v\), \(\theta\) и \(t\). (0,5 балла)