Тело в воздушном потоке

Согласно условию \(\vec F_{\text{сопр}} = -\alpha|\vec v_{\text{отн}}|\vec v_{\text{отн}}\), где \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности.

Проекции ускорения тела на горизонтальную ось \(OX\) и вертикальную ось \(OY\), направленную вниз, соответственно равны: \[a_x = \dfrac{\alpha}{m}(u - v_x)\sqrt{(u - v_x)^2 + v_y^2},\] \[a_y = g - \dfrac{\alpha}{m}v_y\sqrt{(u - v_x)^2 + v_y^2},\] где \(m\) — масса тела, \(g\) — ускорение свободного падения. При малых временах полёта тела можно считать \(v_x \ll u\), \(v_y \ll u\), \(\alpha v_y^2 \ll mg\) и движение тела происходит с постоянным ускорением.

Для малого промежутка времени \(\Delta t\) координаты тела \[x \simeq \dfrac{\alpha u^2\Delta t^2}{2m},\quad y \simeq \dfrac{g\Delta t^2}{2},\] т. е. \[\operatorname{tg}\gamma = \dfrac{y}{x} = \dfrac{mg}{\alpha u^2}.\] В установившемся режиме \(v_x = u\), \(\alpha v_y^2 = mg\), т. е. \(v_y = \sqrt{\dfrac{mg}{\alpha}}\). В этом случае \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{v_y}{v_x} = \sqrt{\dfrac{mg}{\alpha u^2}}\).

Таким образом, \(\operatorname{tg}\gamma = \operatorname{tg}^2\beta\).