Шарики на спицах

В первом эксперименте ускорение \(\vec a_1\) груза и ускорение \(\vec a_A\) шарика \(A\) направлены вертикально вверх и равны по модулю, так как длина \(L\) нити не меняется.

Пусть масса всех трёх шариков равна \(M\). По закону сохранения энергии \[\dfrac{mga_1\Delta t^2}{2} = \dfrac{M(a_A\Delta t)^2}{2} + \dfrac{m(a_1\Delta t)^2}{2}.\tag{1}\] После преобразований (1) получим \(mg = Ma_1 + ma_1\), откуда \[\dfrac{M}{m} = \dfrac{g - a_1}{a_1}.\tag{2}\] Во втором эксперименте проекция ускорения \(\vec a_A'\) шарика \(A\) на вертикальную ось равна ускорению \(a_2\) шарика массы \(m\) (см. рисунок).

\[a_A'\sin 60^\circ = a_2\quad\text{или}\quad a_A' = \dfrac{2a_2}{\sqrt 3}.\tag{3}\] По закону сохранения энергии \[\dfrac{mga_2\Delta t^2}{2} = \dfrac{M(a_A'\Delta t)^2}{2} + \dfrac{m(a_2\Delta t)^2}{2}.\tag{4}\] С учётом (3) выражение (4) примет вид \[\dfrac{M}{m} = \dfrac{3(g - a_2)}{4a_2}.\tag{5}\] Приравнивая выражения (2) и (5), получим \[a_2 = \dfrac{3ga_1}{4g - a_1}.\]