Трифилярный маятник

Рассмотрите небольшой поворот кольца на угол \(\varphi\): нити отклоняются на малый угол \(\alpha\), а кольцо поднимается. Запишите закон сохранения энергии и сравните результат с математическим маятником.

1. Повернём кольцо относительно оси \(OO'\) на малый угол \(\varphi\). Тогда все нити отклонятся на некоторый малый угол \(\alpha\). Из рисунка следует: \(L\alpha = R\varphi\), где \(R\) — радиус кольца (рис. 22). При этом кольцо поднимается на \[x = L(1 - \cos\alpha) \approx \frac{L\alpha^2}{2} = \frac{R^2}{2L}\varphi^2.\] Допустим, что в этом положении все точки кольца имеют скорость \(v = R\dot\varphi\). Тогда полная энергия кольца \[E = Mgx + \frac{Mv^2}{2} = M\left(\frac{R^2 g}{2L}\varphi^2 + \frac{R^2\dot\varphi^2}{2}\right).\] При колебаниях без трения полная энергия сохраняется. Продифференцировав по времени, получим \(\ddot\varphi + \dfrac{g}{L}\varphi = 0\). Это уравнение свободных колебаний, \(\omega_0 = \sqrt{g/L}\), совпадающее с выражением для круговой частоты математического маятника длины \(L\). Окончательно \[T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.\]

2. При наличии точечной массы в центре кольца выражение для кинетической энергии системы не изменяется, а в выражение для потенциальной энергии теперь входит сумма масс \((M + m)\). Уравнение для крутильных колебаний примет вид \(\ddot\varphi + \dfrac{(M+m)}{m}\dfrac{g}{L}\varphi = 0\), следовательно \[\omega_0' = \sqrt{\frac{(M+m)\,g}{M\,L}}.\]

При \(m = M\) частота возрастёт в \(\sqrt{2}\) раза, и, соответственно, период уменьшится в том же отношении.