Груз на стержне с пружиной

Пусть груз сместился от положения равновесия на величину \(x\). Обозначим длину пружины в положении равновесия через \(x_0\), длину пружины после смещения груза — через \(x_1\), величину смещения точки соединения пружины и стержня — через \(x'\), и найдём удлинение пружины \(\Delta x\). Применяя к треугольнику \(ABD\) (рис. 1.204) теорему косинусов, получим:

\[x_1^2 \approx x'^2 + x_0^2 - 2x'x_0\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right).\] Здесь учтено, что смещения \(x\) и \(x'\) малы, и поэтому \(\angle CAD \approx \pi/2\). Перенося \(x_0^2\) в левую часть уравнения, применяя формулу разности квадратов и учитывая, что \(x_1 - x_0 = \Delta x\), \(x_1 + x_0 \approx 2x_0\), получим: \(2x_0\Delta x \approx x'^2 + 2x'x_0\sin\alpha\). Пренебрегая величиной \(x'^2\) ввиду её малости, найдём удлинение пружины: \(\Delta x \approx x'\sin\alpha\). Смещения \(x\) и \(x'\) связаны между собой соотношением: \(x' = \dfrac{l_1}{l}x\), поэтому окончательно для удлинения пружины имеем: \[\Delta x \approx \dfrac{l_1\sin\alpha}{l}x.\] Запишем теперь выражения для кинетической энергии груза \(W\) и потенциальной энергии \(U\), запасённой в пружине: \[W = \dfrac{mv^2}{2};\qquad U = \dfrac{k\Delta x^2}{2} = \dfrac{k}{2}\left(\dfrac{l_1\sin\alpha}{l}\right)^2x^2.\] Здесь \(v = dx/dt\) — скорость, соответствующая координате \(x\). Квадрат искомой круговой частоты равен отношению коэффициентов при \(x^2\) и при \(v^2\) в выражениях для \(U\) и \(W\). Поэтому окончательно получаем: \[\omega_0 = \dfrac{l_1\sin\alpha}{l}\sqrt{\dfrac{k}{m}}.\] Заметим, что по аналогии с колебаниями груза, подвешенного на пружине, начальную потенциальную энергию пружины, имеющуюся в положении равновесия нашей системы, а также потенциальную энергию груза в поле силы тяжести можно не учитывать, потому что коэффициент при \(x^2\) в выражении для \(U\) от этого не меняется.