Устойчивость поршня

Запишите уравнение состояния гелия при постоянной температуре и сравните выражения для давления снизу и сверху поршня, а также их производные по \(h\).

1. Пусть площадь сечения нижнего цилиндра — \(S\). Тогда объём, занимаемый гелием, \(V = (L - h)S\). Уравнение Менделеева–Клапейрона: \[pV = \nu RT \;\Rightarrow\; p\,(L - h)\,S = \nu RT.\] Так как температура и площадь постоянны, то \(p(L - h) = \text{const}\). Другие положения равновесия найдём из уравнения \[p_1 (L - h_1) = p_2 (L - h_2), \qquad p_1 = p_0 + \rho_р g h_1,\quad p_2 = p_0 + \rho_р g h_2.\] Решая это квадратное уравнение, находим \(h_2 = 360\) мм.

2. Исследуем устойчивость. Устойчивое равновесие наблюдается, если \[\frac{dp_{\text{снизу}}}{dh} > \frac{dp_{\text{сверху}}}{dh}.\] Здесь \(p_{\text{сверху}} = p_0 + \rho_р g h\), следовательно, \(\dfrac{dp_{\text{сверху}}}{dh} = \rho_р g\). Из \(p_{\text{снизу}}(L - h) = \text{const}\) следует \(\dfrac{dp_{\text{снизу}}}{dh} = \dfrac{p_{\text{снизу}}}{L - h}\). Тогда условие устойчивости \[\frac{p_0 + \rho_р g h}{L - h} > \rho_р g,\] то есть \[L < \frac{p_0}{\rho_р g} + 2h.\] Для \(h_1 = 380\) мм получаем \(L < 1{,}52\) м, то есть равновесие устойчивое; для \(h_2 = 360\) мм — \(L < 1{,}48\) м, то есть равновесие неустойчивое.