Плоский световод

Найдите угол полного внутреннего отражения и сравните его с минимальным углом падения луча на боковую грань, который получается при преломлении на левом торце.

Рассмотрим преломление лучей от источника на левом торце пластины (рис. 24). Максимальный угол преломления \(\beta_{\max}\) на левом торце соответствует углу падения \(\alpha = 90^\circ\): \(\sin\beta_{\max} = \dfrac{1}{n}\). Минимальный угол падения на боковую грань \(\varphi_{\min} = 90^\circ - \beta_{\max}\). Ход лучей в пластине зависит от соотношения между \(\varphi_{\min}\) и \(\varphi_{\text{пред}}\) (предельным углом полного отражения).

Случай 1: \(\varphi_{\min} \geq \varphi_{\text{пред}}\), или \(\sin\varphi_{\min}\geq\sin\varphi_{\text{пред}} = \dfrac{1}{n}\). В этом случае все лучи, падающие на боковые грани, испытывают полное отражение, и ни один луч не выйдет из пластины. Поскольку \[\sin\varphi_{\min} = \cos\beta_{\max} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n} \geq \frac{1}{n} \quad\Rightarrow\quad n \geq \sqrt{2},\] минимальное расстояние между соседними отражениями на противоположных гранях \[(\Delta l)_{\min} = H\,\operatorname{tg}\varphi_{\min} = H\sqrt{n^2 - 1}.\] Максимальное число отражений \[N_1 = \left[\frac{L}{(\Delta l)_{\min}} + \frac{1}{2}\right] = \left[\frac{L}{H\sqrt{n^2 - 1}} + \frac{1}{2}\right].\] Слагаемое \(1/2\) возникает из-за того, что перед первым отражением луч проходит вдоль трубы расстояние \(\Delta l/2\). При \(n = n_1 = 1{,}73\) получаем \(N_1 = 71\).

Случай 2: \(\varphi_{\min} \leq \varphi_{\text{пред}}\), или \(\dfrac{\sqrt{n^2-1}}{n}\leq\dfrac{1}{n}\), то есть \(n \leq \sqrt{2}\). В этом случае \[(\Delta l)_{\min} = H\,\operatorname{tg}\varphi_{\text{пред}} = \frac{H}{\sqrt{n^2 - 1}}.\] Часть лучей, падающих на боковую грань под углами от \(\varphi_{\min}\) до \(\varphi_{\text{пред}}\), испытывает только частичное отражение и не доходит до правого торца пластины. Максимальное число отражений \[N_2 = \left[\frac{L}{(\Delta l)_{\min}} + \frac{1}{2}\right] = \left[\frac{L\sqrt{n^2 - 1}}{H} + \frac{1}{2}\right].\] При \(n = n_2 = 1{,}3\): \(N_2 = 100\cdot 0{,}83 = 83\).