Конденсатор с утечкой

Выделите тонкий слой толщиной \(dx\), найдите на нём падение напряжения по закону Ома и проинтегрируйте по всей толщине. Ток через все слои одинаков.

1. В установившемся режиме сила тока \(I\) постоянна при любом \(x\). Выделим в среде слой \(x, dx\). По закону Ома \[dU = \rho\,\frac{dx}{S}\,I = I\rho_0\left(1 + \frac{2x}{d}\right)\frac{dx}{S},\] где \(S\) — площадь пластин конденсатора. Интегрируя, \[U_0 = \int dU = \frac{2I\rho_0 d}{S} = \frac{2I\rho_0\varepsilon_0}{C_0}, \qquad\text{так как}\quad C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}.\] Отсюда \[I = \frac{U_0 C_0}{2\rho_0\varepsilon_0}.\]

2. Напряжённость электрического поля: \[E(x) = \frac{dU}{dx} = \frac{I\rho_0}{S}\left(1 + \frac{2x}{d}\right) = \frac{C_0U_0}{2\varepsilon_0 S}\left(1 + \frac{2x}{d}\right).\] При \(x = 0\): \(E_1 = \dfrac{C_0U_0}{2\varepsilon_0 S}\), \(q_1 = S\sigma_1 = SE_1\varepsilon_0 = \dfrac{C_0U_0}{2}\). При \(x = d\): \(E_2 = \dfrac{3C_0U_0}{2\varepsilon_0 S}\), \(q_2 = -S\sigma_2 = -SE_2\varepsilon_0 = -\dfrac{3C_0U_0}{2}\).

3. Полный заряд конденсатора, включающий заряды обеих пластин и заряд в среде между пластинами, равен нулю: \(q_1 + q_2 + q = 0\). Отсюда \(q = C_0U_0\).

4. Электрическую энергию найдём через объёмную плотность энергии \(w_э = \varepsilon_0E^2/2\): \[W_э = \int w_э\,dV = \int_0^d \frac{\varepsilon_0 E^2(x)}{2}\,S\,dx = \frac{C_0 U_0^2}{8d}\int_0^d \left(1 + \frac{2x}{d}\right)^2 dx = \frac{13}{24}\,C_0 U_0^2.\]