Слоистый диэлектрик

Запишите сумму падений напряжения на двух слоях и условие постоянства тока через слои. Полный заряд системы (пластины и контактный слой) равен нулю.

1. Пусть \(E_1\) и \(E_2\) — напряжённости однородных электрических полей в верхнем и нижнем слоях соответственно. Тогда \[E_1\frac{d}{2} + E_2\frac{d}{2} = \mathcal{E}.\] Здесь \(E_1 d/2\) и \(E_2 d/2\) — падения напряжений на слоях. По закону Ома \[E_1\frac{d}{2} = I_1\,\frac{1}{\lambda_1}\,\frac{d/2}{S}, \qquad E_2\frac{d}{2} = I_2\,\frac{1}{\lambda_2}\,\frac{d/2}{S},\] где \(I_1 = I_2\) — силы токов в первом и втором слоях, \(S\) — площадь пластин. Поделив почленно эти соотношения, получим \[\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}.\]

Решая систему двух уравнений, найдём \[E_1 = \frac{2\mathcal{E}}{d\,(1 + \lambda_1/\lambda_2)}, \qquad E_2 = \frac{2\mathcal{E}}{d\,(1 + \lambda_2/\lambda_1)}.\] Поверхностные плотности зарядов на пластинах конденсатора: \[\sigma_1 = \varepsilon_0 E_1 = \frac{2\varepsilon_0\mathcal{E}}{d\,(1 + \lambda_1/\lambda_2)}; \qquad \sigma_2 = -\varepsilon_0 E_2 = -\frac{2\varepsilon_0\mathcal{E}}{d\,(1 + \lambda_2/\lambda_1)}.\]

2. Полный заряд конденсатора, включающий заряды на пластинах и заряд в плоскости контакта слоёв, равен нулю. Пусть \(\sigma\) — поверхностная плотность заряда в плоскости контакта. Тогда \(\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma = 0\), откуда \[\sigma = -\sigma_1 - \sigma_2 = -\frac{2\varepsilon_0\mathcal{E}}{d} \left(\frac{1}{1 + \lambda_1/\lambda_2} - \frac{1}{1 + \lambda_2/\lambda_1}\right) = -\frac{2\varepsilon_0\mathcal{E}}{d}\,\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}.\]