Шарик в сосуде с водой

Замените деревянный шарик шариком из воды того же объёма: на него действует та же сила Архимеда, а ускорение при движении по окружности одинаково. Что тогда можно сказать о направлении силы Архимеда относительно нити?

1. Рассмотрим мысленно вместо деревянного шарика шарик из воды. На эти шарики действует одинаковая сила Архимеда (рис. 19). Ускорение шариков \(a = \omega^2 R\). По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления: \[F_A\sin\gamma = \rho V_1\omega^2 R, \qquad F_A\sin\gamma - T_1\sin\alpha = \rho_1 V_1\omega^2 R,\] \[F_A\cos\gamma = \rho V_1 g, \qquad F_A\cos\gamma - T_1\cos\alpha = \rho_1 V_1 g.\] Отсюда \(\operatorname{tg}\gamma = \dfrac{\omega^2 R}{g}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\omega^2 R}{g}\). Итак, \(\gamma = \alpha\): сила Архимеда направлена под углом \(\alpha\) к вертикали, то есть вдоль нити.

2. Найдём горизонтальные и вертикальные составляющие сил Архимеда, действующих на шарики (рис. 20): \(F_{A1x} = \rho V_1\omega^2 R\), \(F_{A1y} = \rho V_1 g\), \(F_{A2x} = \rho V_2\omega^2\cdot 3R\), \(F_{A2y} = \rho V_2 g\). По второму закону Ньютона: \[\begin{cases} F_{A1x} - T_1\sin\alpha = \rho_1 V_1\omega^2 R,\\ F_{A1y} - \rho_1 V_1 g - T_1\cos\alpha = 0,\\ F_{A2x} + T_1\sin\alpha + T_2\cos\alpha = \rho_2 V_2\omega^2\cdot 3R,\\ F_{A2y} - \rho_2 V_2 g + T_1\cos\alpha - T_2\sin\alpha = 0. \end{cases}\] Из записанных уравнений находим: \[(\rho - \rho_1)V_1\omega^2 R = T_1\sin\alpha, \quad (\rho - \rho_1)V_1 g = T_1\cos\alpha,\] \[(\rho_2 - \rho)V_2\omega^2\cdot 3R = T_1\sin\alpha + T_2\cos\alpha, \quad (\rho_2 - \rho)V_2 g = T_1\cos\alpha - T_2\sin\alpha.\] Отсюда \[3\operatorname{tg}\alpha = \frac{x\sin\alpha + \cos\alpha}{x\cos\alpha - \sin\alpha}, \qquad x = \frac{T_1}{T_2}.\] Зная \(\alpha\) (\(\sin\alpha = 4/5\), \(\cos\alpha = 3/5\)), находим \(x = \dfrac{T_1}{T_2} = \dfrac{19}{8}\).