Кольцо на конусе

Рассмотрим маленький элемент кольца массой \(\Delta m\), которому соответствует малый угол \(\beta\) (рис. 101, а). Масса элемента \(\Delta m = \dfrac{m}{2\pi}\beta\). Силу нормального давления \(N\) разложим на вертикальную \(N_1\) и горизонтальную \(N_2\) составляющие (рис. 101, б). Ясно, что \(N_2 = \dfrac{N_1}{\operatorname{tg}\alpha}\). Запишем условие равновесия элемента кольца:

\[N_1 = \Delta mg,\qquad(1)\] \[|\vec T'| = |\vec T| = T,\qquad(2)\] \[N_2 = 2T\sin\dfrac{\beta}{2}.\qquad(3)\] С учётом малости \(\beta\) имеем \(N_2 = T\beta\).

Решая совместно уравнения (1) и (3), находим силу натяжения: \[T = \dfrac{\Delta m\cdot g}{\beta\cdot\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{mg}{2\pi\operatorname{tg}\alpha}.\] Так как \(T = k(2\pi r - 2\pi r_0)\), то радиус кольца, находящегося на конусе, равен \[r = r_0 + \dfrac{mg}{4\pi^2k\operatorname{tg}\alpha}.\qquad(4)\] Пусть при вращении радиус кольца станет \(R = 2r\). Сила \(N_1\) не изменится. Значит, не изменится и \(N_2\). По второму закону Ньютона \[\Delta m\cdot a_{\text{ц}} = T_1\beta - N_2\ \Rightarrow\] \[\Delta m\omega^2R = T_1\beta - \dfrac{\Delta mg}{\operatorname{tg}\alpha},\] где \(a_{\text{ц}}\) — центростремительное ускорение, \(T_1 = 2\pi k(R - r_0)\). С учётом выражения для \(\Delta m\) и (4) получаем \[\omega^2 = \dfrac{4k\pi^2}{m}\dfrac{R - r}{R},\] откуда при \(R = 2r\) находим \[\omega = \pi\sqrt{\dfrac{2k}{m}}.\]