Цепочка из батарей и резисторов

Выделяем одно звено цепочки и подсоединяем к нему эквивалентную батарею (рис. 103). Напряжение на входе (между точками \(A\) и \(B\)) должно быть равно \(\mathcal{E}_0\), т. е. ЭДС разомкнутой батареи. Следовательно,

\[\mathcal{E}_0 = \mathcal{E} + \dfrac{\mathcal{E}_0R}{R + r_0}.\qquad(1)\] Для отыскания \(r_0\) накоротко замкнем вход \(AB\) (рис. 104). Тогда сила тока короткого замыкания

\[i_1 = \dfrac{\mathcal{E}_0}{r_0}.\] Найдём силу тока \(i_1\) из законов Кирхгофа: \[\begin{cases} i_1r - i_2R = \mathcal{E},& (2)\\ i_3r_0 + i_2R = \mathcal{E}_0,& (3)\\ i_3 = i_1 + i_2.& (4) \end{cases}\] Из (4) и (3) имеем \((i_1 + i_2)r_0 + i_2R = \mathcal{E}_0\), отсюда \(i_2(r_0 + R) = 0\), т. е. \(i_2 = 0\). Из (2) находим \(i_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{r} = \dfrac{\mathcal{E}_0}{r_0}\); \(\mathcal{E}_0 = \dfrac{r_0}{r}\mathcal{E}\). Подставляем полученное выражение для \(\mathcal{E}_0\) в (1): \[\dfrac{r_0}{r}\mathcal{E} = \mathcal{E} + \dfrac{R}{R + r_0}\dfrac{r_0}{r}\mathcal{E}.\qquad(5)\] Из (5) получаем квадратное уравнение относительно \(r_0\): \[r_0^2 - r_0r - Rr = 0,\] \[r_0 = \dfrac{r}{2}\left(1 \pm \sqrt{1 + 4\dfrac{R}{r}}\right).\] Знак «\(-\)» не подходит, так как тогда \(r_0 < 0\). Итак, \[r_0 = \dfrac{r}{2}\left(1 + \sqrt{1 + 4\dfrac{R}{r}}\right) = 10\text{ Ом}.\] \[\mathcal{E}_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{2}\left(1 + \sqrt{1 + 4\dfrac{R}{r}}\right) = 30\text{ В}.\]