Упругий жгут

Для решения задачи нужно проанализировать движение системы. Запишем для установившегося движения шарика по окружности уравнение второго закона Ньютона: \[M\omega^2L = F, \tag{63}\] где \(F\) — сила упругости, приложенная к шарику (см. рисунок). Поскольку деформация жгута неоднородна, для нахождения \(F\) следует рассмотреть движение его малого элемента длиной \(dx\) и массой \(dm\) (см. рисунок).

Длина этого элемента в недеформированном состоянии равна \(dx_0\). Запишем для него второй закон Ньютона: \[dm\,\omega^2x = dF(x), \tag{64}\] где \(x\) — координата выбранного элемента, \(dF(x)\) — действующая на него сила упругости. Масса элемента \(dm = \rho_0S\,dx_0 = \rho(x)S\,dx\), где \(\rho_0\) — плотность недеформированного жгута, а \(\rho(x)\) — плотность жгута в точке \(x\). В соответствии с законом Гука \[F(x) = -SE\frac{dx - dx_0}{dx_0} = -SE\left(\frac{\rho_0}{\rho(x)} - 1\right). \tag{65}\] Подставляя \(dm\) в уравнение (64), получим \[\rho(x)S\omega^2x\,dx = ES\rho_0\frac{d\rho}{\rho^2(x)},\] или \[x\,dx = A\frac{d\rho}{\rho^3(x)}, \tag{66}\] \[A = \frac{E\rho_0}{\omega^2}. \tag{67}\] Проинтегрировав уравнение (66) от \(x\) до \(L\), получим \[x^2 - L^2 = A\left(\frac{1}{\rho^2(L)} - \frac{1}{\rho^2(x)}\right). \tag{68}\] Величину \(\rho(L)\) выразим из уравнения (63), подставив в него соотношение (65): \[\frac{1}{\rho(L)} = \frac{1}{\rho_0}\left(1 + \frac{M\omega^2L}{ES}\right). \tag{69}\] Из формул (68) и (69) получим \[\frac{1}{\rho^2(x)} = \frac1A(a^2 - x^2), \qquad\text{где}\qquad a^2 = A\left(\frac{1}{\rho_0} + \frac{ML}{AS}\right)^2 + L^2.\] Функция \(\rho(x)\) позволяет выразить массу жгута следующим образом: \[m = S\int\limits_0^L \rho(x)\,dx = S\int\limits_0^L \frac{\sqrt A\,dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}. \tag{70}\] Вычислим интеграл в формуле (70) и подставим \(m = \rho_0SL_0\): \[\rho_0SL_0 = S\sqrt A\arcsin\frac La,\] или \[\sin\left(\frac{\rho_0L_0}{\sqrt A}\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{AL^2}\left(\dfrac{A}{\rho_0} + \dfrac{ML}{S}\right)^2}}. \tag{71}\] Формула (71) содержит в неявном виде искомую зависимость \(L\) от \(\omega\), поскольку \(A \sim \omega^{-2}\) согласно формуле (67).

Проанализируем эту зависимость. При \(\omega \to 0\) (\(A \to \infty\)) получаем \(L_0 \approx L\). Естественно, при медленном вращении жгут деформируется незначительно. При \(L \to \infty\) в правой части формулы (71) получается \(\left(1 + \dfrac{M^2}{AS^2}\right)^{-1/2}\). Левую часть преобразуем с помощью тригонометрического тождества \[\sin\alpha = \left(1 + \frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}\right)^{-1/2}.\] Тогда получим \[\operatorname{tg}\left(\frac{\rho_0L_0}{\sqrt A}\right) = \frac{\sqrt A\,S}{M},\] или, после подстановки (67), \[\operatorname{tg}\left(\omega L_0\sqrt{\frac{\rho_0}{E}}\right) = S\frac{\sqrt{\rho_0E}}{M\omega}. \tag{72}\] Таким образом, когда угловая скорость стремится к критическому значению, являющемуся решением уравнения (72), длина нити неограниченно увеличивается. Проще осознать эту особенность для невесомой нити. При \(\rho_0 \to 0\) из формулы (72) получаем \[M\omega^2L_0 = SE. \tag{73}\] Уравнение движения шарика в этом случае имеет вид \[M\omega^2L = \frac{SE}{L_0}(L - L_0) = f(L). \tag{74}\] Корень этого уравнения и определяет длину \(L\) при установившемся движении. Графическое решение этого уравнения представлено на левом рисунке (рядом с обозначениями углов указаны значения их тангенсов).

Наклон прямой, проходящей через начало координат, увеличивается с ростом \(\omega\). При достижении критического значения, совпадающего с решением уравнения (73), прямые оказываются параллельными, то есть \(L \to \infty\). Сила упругости не в состоянии обеспечить необходимое центростремительное ускорение.

Наглядное представление функциональных зависимостей дают графики. Построить графики функций, заданных неявно или громоздкими выражениями, помогает компьютер. На правом рисунке изображены полученные с помощью MathCAD график функции \(L(\omega)\), построенный по формуле (71) (сплошная линия), и график аналогичной зависимости, даваемой формулой (74) (штрихованная линия). Видно, что различие в поведении массивного жгута и невесомого проявляются только вблизи критических угловых скоростей \(\omega_1\) и \(\omega_2\) (см. правый рисунок). Для невесомого жгута эта скорость \(\omega_2\) больше.