Сферическое зеркало

На левом рисунке показан ход луча, падающего на зеркало на расстоянии \(x\) от его оптической оси. Точка \(O\) — центр кривизны зеркала. Фокус \(F\) удалён от центра на расстояние \(OF = R/2\).

Отражённый луч пересекает главную оптическую ось в точке \(F_x\), для которой, как видно из рисунка, \(OF_x = \dfrac{R}{2\cos\alpha}\). Угол \(\alpha\) зависит от \(x\), так как \(\sin\alpha = x/R\). Найдём, на каком расстоянии \(y\) от главной оптической оси луч пересекает фокальную плоскость. Это нетрудно сделать с помощью левого рисунка: \[y = \left(\frac{R}{2\cos\alpha} - \frac R2\right)\operatorname{tg}(2\alpha). \tag{249}\] В соответствии с условием задачи углы \(\alpha\) малы, поэтому можно использовать приближения \[\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha \approx \alpha \qquad\text{и}\qquad \cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2},\] которые существенно упрощают формулу (249): \[y \approx \frac R2\alpha^3 = \frac{x^3}{2R^2}. \tag{250}\] Чтобы найти среднюю освещённость экрана, следует световой поток, падающий на него, поделить на площадь пятна на экране. Какие же лучи попадают на экран? На зеркало падают лучи, проходящие мимо экрана. Для них \[r < x < \frac D2 \tag{251}\] и, согласно формуле (250), \[\frac{r^3}{2R^2} < y < \frac{D^3}{16R^2}. \tag{252}\] Все эти лучи попадают на экран, если он достаточно велик, то есть при \[r > \frac{D^3}{16R^2}. \tag{253}\] В этом случае площадь освещённого пятна на экране составляет \[S_1 = \pi\left(\left(\frac{D^3}{16R^2}\right)^2 - \left(\frac{r^3}{2R^2}\right)^2\right).\] Световой поток \(\Phi\), падающий на это пятно, найдём по формуле \(\Phi = NS_2\), где \(N\) — мощность солнечного излучения, приходящегося на единичную площадку, перпендикулярную лучам, а \(S_2\) — площадь так же ориентированной площадки, которую пересекают лучи, попадающие на зеркало. Эта площадь равна \[S_2 = \pi\left(\left(\frac D2\right)^2 - r^2\right).\] Таким образом, получаем формулу для средней освещённости \(E\) светового пятна при условии \(r > D^3/(16R^2)\): \[E = \frac{N\left(\left(\dfrac D2\right)^2 - r^2\right)}{\left(\dfrac{D^3}{16R^2}\right)^2 - \left(\dfrac{r^3}{2R^2}\right)^2} = \frac{4R^4N}{\left(\dfrac D2\right)^4 + r^2\left(\dfrac D2\right)^2 + r^4}. \tag{254}\] Если экран небольшой, то есть \(r \leqslant D^3/(16R^2)\), то на него попадают не все лучи, отражённые зеркалом. Площадь освещённого пятна \(S_1\) в этом случае равна \[S_1 = \pi\left(r^2 - \left(\frac{r^3}{2R^2}\right)^2\right).\] Площадь \(S_2\) в этом случае принимает значение \[S_2 = \pi(x_1^2 - r^2),\] где \(x_1\) находится из формулы (250) при подстановке в неё \(y = r\): \(x_1^3 = 2R^2r\). Зная \(S_1\) и \(S_2\), находим освещённость \(E\) при условии \(r \leqslant D^3/(16R^2)\): \[E = N\frac{x_1^2 - r^2}{r^2 - \left(\dfrac{r^3}{2R^2}\right)^2} = N\frac{(2R^2r)^{2/3} - r^2}{r^2 - \left(\dfrac{r^3}{2R^2}\right)^2}. \tag{255}\] При \(r \ll R\) из полученного выражения находим \[E \approx 2^{2/3}\cdot N\left(\frac Rr\right)^{4/3},\] то есть при \(r \to 0\) освещённость неограниченно возрастает. Такое заключение получилось в рамках геометрической оптики, справедливой, когда длина волны света \(\lambda \ll D\). Дифракция света приводит к тому, что в фокальной плоскости получается не точка, а пятнышко, что ограничивает величину \(E\). При больших \(r\), изменяющихся в пределах от \(D^3/(16R^2)\) до \(D/2\), то есть в \(8R^2/D^2\) раз, освещённость в соответствии с формулой (254) изменяется всего в 3 раза, что говорит о слабой зависимости \(E\) от \(r\). Качественно характер зависимости \(E(r)\) отражает правый рисунок, на котором \[E_m = \frac{64}{3}N\left(\frac RD\right)^4.\]