Канал

Обозначим через \(v\) скорость шарика в точке выхода из канала и направим ось \(x\) вдоль скоростей \(v_0\) и \(v\), а ось \(y\) — перпендикулярно оси \(x\) в горизонтальной плоскости. Для системы, состоящей из бруска и шарика, запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса в проекциях на оси: \[\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2}, \tag{48}\] \[x:\qquad mv_0 = mv + Mu_x, \tag{49}\] \[y:\qquad 0 = 0 + Mu_y, \tag{50}\] где \(u_x\) и \(u_y\) — соответствующие проекции искомой скорости \(u\) бруска. Из уравнения (50) следует, что \(u_y = 0\), а отсюда \(u_x = u\). Перепишем уравнения (48) и (49) в виде \[m(v_0^2 - v^2) = Mu^2, \tag{51}\] \[m(v_0 - v) = Mu. \tag{52}\] Одно из решений полученной системы очевидно: \[v_0 - v = 0, \qquad u = 0. \tag{53}\] Другое решение находим, поделив уравнение (51) на (52), что можно сделать, если не выполняется условие (53): \[v_0 + v = u, \qquad v_0 - v = \frac Mm u,\] откуда \[u = \frac{2m}{M + m}v_0, \qquad v = \frac{m - M}{M + m}v_0. \tag{54}\] Однако из равенств (54) следует, что \(v < u\) (а при \(m < M\) даже \(v < 0\)), то есть шарик вылетает из канала в обратном направлении, что противоречит условию задачи. Таким образом, решение (53) единственное, и конечный ответ: \(u = 0\).

Странный результат, не правда ли? Неужели шарик не оказывает никакого воздействия на брусок? Конечно, оказывает! В процессе движения шарика в канале скорости шарика и бруска изменяются как по модулю, так и по направлению, причём брусок может даже вращаться в горизонтальной плоскости. Однако к концу взаимодействия их скорости принимают исходные значения, а вращение бруска прекращается.

Примечание. Обратите внимание на множество ограничений в условии задачи и попробуйте самостоятельно установить, какие логические шаги решения опираются на каждое из этих ограничений.