Заряженное кольцо

Из соображений симметрии следует, что искомая сила направлена перпендикулярно плоскости диска. Поэтому для её нахождения следует сложить лишь те составляющие сил, приложенных к каждому элементу диска, которые направлены перпендикулярно плоскости диска: \[F = \sigma\sum E_i\Delta S_i = \sigma\Phi, \tag{193}\] где \(\sigma\) — поверхностная плотность зарядов диска, \(\Delta S_i\) — площадь элементарного участка диска, \(E_i\) — модуль составляющей напряжённости поля на этом участке, которая перпендикулярна диску, \(\Phi\) — поток напряжённости электрического поля через диск\(^{1}\).

Из теоремы Гаусса следует, что поток поля остаётся постоянным внутри выделенной в пространстве трубки, образующими которой являются силовые линии. В самом деле, в объёме такой трубки, ограниченной двумя сечениями, нет электрических зарядов, и, в соответствии с теоремой Гаусса, поток через границу этого объёма равен нулю. Поток через боковую поверхность трубки равен нулю по определению силовых линий. Следовательно, потоки через сечения трубки равны по модулю.

Применим свойство постоянства потока к данной задаче. С этой целью найдём поток \(\Phi\), создаваемый зарядами кольца внутри трубки, ограниченной силовыми линиями, которые проходят через кольцо и край диска. Поток, создаваемый всем кольцом, в соответствии с принципом суперпозиции складывается из потоков, создаваемых элементами кольца. Электрическое поле элемента кольца в непосредственной близости от него почти не отличается от поля равномерно заряженной прямолинейной нити (см. рисунок). Силовые линии этого поля изображены на рисунке. Так как \(\alpha = 45{}^\circ\), через диск проходят лишь те силовые линии, которые выходят из кольца под углом \(\beta\), \[0{}^\circ \leqslant \beta \leqslant \frac\pi2 - \alpha = 45{}^\circ.\]

Вследствие симметрии поля вокруг прямолинейной заряженной нити этим углам \(\beta\) соответствует лишь \(1/8\) полного потока поля нити, равного \[\Delta\Phi = \frac{\Delta q}{\varepsilon_0},\] где \(\Delta q\) — заряд элемента нити, а \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. В результате \[\Phi = \frac{q}{8\varepsilon_0},\] и из формулы (193) получаем \[F = \frac{\sigma q}{8\varepsilon_0} = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0R^2}.\]