Бочка

Пусть бочку катят вдоль координатной оси \(x\), направленной перпендикулярно плоскости левого рисунка. Координата \(y\) точки следа находится под отверстием, положение которого в плоскости дна характеризуется координатой \(y_1\).

Из левого рисунка видно, что \(y = ky_1\), где \(k = \sin\alpha\). Таким образом, след представляет собой проекцию траектории отверстия в плоскости дна на горизонтальную плоскость. Найдём вначале уравнение траектории движения отверстия в плоскости дна. На правом рисунке изображено начальное положение отверстия \(A\) и его положение \(A'\) после поворота на угол \(\varphi\). Выразим через этот угол координаты \(x\) и \(y_1\) отверстия: \[x = \varphi R - r\sin\varphi = R\left(\varphi - \frac rR\sin\varphi\right), \tag{45}\] \[y_1 = R - r\cos\varphi = R\left(1 - \frac rR\cos\varphi\right). \tag{46}\] Уравнения (45) и (46) задают траекторию в параметрическом виде. Для траектории песочного следа вместо \(y_1\) нужно брать \(y = ky_1\). Можно приблизительно нарисовать оставляемый песком след, выявив характерные точки по уравнениям (45) и (46). На рисунке ниже представлены построенные с помощью системы MathCad графики параметрически заданной функции \(y = y(x)\) при \(r = R\) (сплошная кривая) и при \(r = R/2\) (пунктирная кривая). Первая кривая называется циклоидой, вторая — укороченной циклоидой.

Для определения положения центра масс следа воспользуемся формулами для его координат: \[x_c = \frac1M\int x\,dm; \qquad y_c = \frac1M\int y\,dm. \tag{47}\] В данном случае \(dm = \rho\,d\varphi\), где \(\rho\) — масса песка, высыпающегося за время поворота на единичный угол. При равномерном качении бочки эта величина постоянна, а \(M = 2\pi\rho\) — масса песка, высыпающегося за один оборот. Подставляем координаты \(x\) и \(y\), найденные с помощью формул (45) и (46), в соотношения (47) и интегрируем: \[x_c = \frac{1}{2\pi\rho}\int\limits_0^{2\pi} R\rho\left(\varphi - \frac rR\sin\varphi\right)d\varphi = \pi R.\] \[y_c = \frac{k}{2\pi\rho}\int\limits_0^{2\pi} R\rho\left(1 - \frac rR\cos\varphi\right)d\varphi = R\sin\alpha.\] Итак, положение центра масс песочного следа определяется координатами \(x_c = \pi R\) и \(y_c = R\sin\alpha\). Это положение отмечено точкой \(O\) на рисунке. Оно является проекцией центра дна на горизонтальную плоскость и не зависит от \(r\).