Автомобиль

Пусть масса автомобиля равна \(m\). Рассмотрим вначале простейший способ избежать столкновения — просто резко затормозить. Для нахождения тормозного пути применим закон изменения энергии: \[\frac{mv_0^2}{2} = \mu mgL.\] Отсюда находим тормозной путь: \[L = \frac{v_0^2}{2\mu g}. \tag{55}\] Второй способ избежать столкновения — заставить автомобиль поворачивать с возможно меньшим радиусом кривизны \(R\), который и представляет собой минимальное расстояние до препятствия. Поскольку центр масс гоночного автомобиля расположен низко, опасностью его опрокидывания можно пренебречь. Размерами автомобиля также можно пренебречь по сравнению с расстоянием до препятствия. Тогда к автомобилю можно применить второй закон Ньютона: \[\frac{mv_0^2}{R} = \mu mg,\] откуда \[R = \frac{v_0^2}{\mu g}. \tag{56}\] Этот способ избежать столкновения в два раза менее эффективен по сравнению с первым.

Проанализируем третий способ. Поворот автомобиля обеспечивают силы трения покоя, действующие перпендикулярно скорости. Поскольку центр масс гоночного автомобиля расположен достаточно низко, можно считать, что вес автомобиля поровну распределяется между передними и задними колёсами. Силы трения покоя будем полагать почти равными их предельным значениям. Тогда сумма сил трения покоя, действующих на передние колёса, которая перпендикулярна скорости автомобиля, равна \(F = \mu mg/2\). Суммарная сила трения \(\vec F\), действующая на задние колёса, тоже близка к предельному значению. Угол, который она образует с направлением скорости \(\vec v\), можно менять посредством тормоза и руля. Приближение к стенке будет самым медленным, если предельная сила трения \(\vec F\), действующая на задние колёса, направлена перпендикулярно стенке. Далее рассматривается именно этот наиболее благоприятный вариант.

Силу \(\vec F\) целесообразно разложить на две составляющие: \(\vec F = \vec F_1 + \vec F_2\). Составляющая \(\vec F_1\) направлена навстречу скорости \(\vec v\), а \(\vec F_2\) — перпендикулярно к ней. Для модулей сил справедливы равенства \(F_1 = F\cos\alpha\), а \(F_2 = F\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол между скоростью \(\vec v\) и первоначальной скоростью \(\vec v_0\), направленной перпендикулярно стене. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на касательное и нормальное направления: \[m\dot v = -F_1 = -F\cos\alpha, \tag{57}\] \[\frac{mv^2}{R} = F_2 + F = F(1 + \sin\alpha). \tag{58}\] Точка над символом здесь и далее обозначает производную по времени; \(R\) — локальный радиус поворота, удовлетворяющий соотношению \[v = \dot\alpha R. \tag{59}\] Из уравнений (58) и (59) следует, что \[mv = F\frac{1 + \sin\alpha}{\dot\alpha}. \tag{60}\] Сравнивая соотношения (60) и (57), получим \[\frac{d}{dt}\left(\frac{1 + \sin\alpha}{\dot\alpha}\right) = -\cos\alpha.\] Преобразуем это уравнение следующим образом: \[\dot\alpha\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{1 + \sin\alpha}{\dot\alpha}\right) = -\frac{d(\sin\alpha)}{d\alpha},\] \[\frac{d}{d\alpha}\left(\dot\alpha\frac{1 + \sin\alpha}{\dot\alpha}\right) - \frac{1 + \sin\alpha}{\dot\alpha}\frac{d\dot\alpha}{d\alpha} = -\frac{d(\sin\alpha)}{d\alpha},\] \[\frac{d\dot\alpha}{\dot\alpha} = \frac{2\,d(\sin\alpha)}{1 + \sin\alpha}.\] Решаем это уравнение при начальном условии \(\alpha = \alpha_0 = 0\); \(\dot\alpha = \dot\alpha_0\), где, в соответствии с уравнением (59), \(\dot\alpha_0 = v_0/R_0\), \(R_0\) — начальный радиус поворота, который находим по формуле (58): \(R_0 = mv_0^2/F\). Интегрируя, получим \[\ln\frac{\dot\alpha}{\dot\alpha_0} = 2\ln\left(\frac{1 + \sin\alpha}{1 + \sin\alpha_0}\right), \quad\text{или}\quad \dot\alpha = \frac vR = \frac{v_0}{R_0}(1 + \sin\alpha)^2.\] С учётом уравнения (58) отсюда находим \[v = \frac{v_0}{1 + \sin\alpha}. \tag{61}\] В ближайшей к стене точке траектории \(\alpha = \pi/2\), и из формулы (61) получаем величину скорости \(v_f\) в этой точке: \[v_f = \frac{v_0}{2}. \tag{62}\] На какое расстояние \(S\) автомобиль приблизится к стене? Это расстояние можно подсчитать так: \[S = \int v\cos\alpha\,dt,\] где \(v\cos\alpha\) — перпендикулярная к стене составляющая скорости. Выразим косинус из уравнения (57) и, используя формулу (62), получим \[S = -\int v\cdot\dot v\frac mF\,dt = -\frac mF\int\limits_{v_0}^{v_f} v\,dv = -\frac{m}{2F}(v_f^2 - v_0^2) = \frac34\frac{v_0^2}{\mu g}.\] Сравнивая полученный результат с формулами (55) и (56), видим, что при повороте эффективнее тормозить, но лучше всего сразу нажать на тормоза.