Перезарядка конденсаторов

Найдите, во сколько раз уменьшается разность напряжений за один цикл. После большого числа циклов напряжения выравниваются, а заряд системы сохраняется.

1. Рассмотрим процессы перезарядки конденсаторов в первом цикле. Из закона сохранения заряда: \[C_1 U_1 + C U_2 = (C_1 + C)\,U_1', \qquad U_1' = \frac{C_1 U_1 + C U_2}{C_1 + C};\] \[C_2 U_2 + C U_1' = (C_2 + C)\,U_2', \qquad U_2' = \frac{C_2 U_2 + C\,U_1'}{C_2 + C}.\] Разность напряжений после цикла: \[\Delta U' = U_2' - U_1' = \frac{C_1 C_2}{(C_1 + C)(C_2 + C)}\,(U_2 - U_1), \qquad \frac{\Delta U'}{(\Delta U)_0} = \frac{C_1 C_2}{(C_1 + C)(C_2 + C)} = A < 1.\] Таким образом, после каждого цикла разность напряжений уменьшается в \(1/A\) раз, а после \(n\) циклов — в \((1/A)^n\) раз. По условию \[\left(\frac{1}{A}\right)^{44} = 100 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{A} = \sqrt[44]{100} \approx 1{,}11.\] Должны выполняться неравенства \(C \ll C_1\), \(C \ll C_2\). Пренебрегая членами второго порядка малости относительно \(C/C_1\) и \(C/C_2\), получаем \[\frac{1}{A} - 1 \approx C\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) = 0{,}11,\] откуда \(C = 1\) мкФ.

2. После большого числа циклов напряжения на всех конденсаторах окажутся одинаковыми (\(U_\infty\)), и их можно соединить параллельно. Заряд батареи конденсаторов равен первоначальному заряду: \[C_1 U_1 + C_2 U_2 + C U_2 = (C_1 + C_2 + C)\,U_\infty,\] \[U_\infty = \frac{C_1 U_1 + C_2 U_2 + C U_2}{C_1 + C_2 + C} = \frac{9 U_1 + 10 U_2}{19} = 136~\text{В}.\]

3. Энергия в начальном состоянии и в конце: \[(W_э)_0 = \frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{(C_2 + C)\,U_2^2}{2} = 0{,}413~\text{Дж}, \qquad (W_э)_\infty = \frac{(C_1 + C_2 + C)\,U_\infty^2}{2} = 0{,}351~\text{Дж}.\] Тепловая энергия, выделившаяся на резисторе: \[Q = (W_э)_0 - (W_э)_\infty = 0{,}062~\text{Дж}.\]