Сферический конденсатор

Пусть заряд обкладок конденсатора \(Q_1\) и \(Q_3\), а заряд на границе слоёв, заполняющих конденсатор, \(Q_2\). Эти три физические величины нам предстоит найти. Для этого необходимо составить три уравнения (по числу неизвестных), содержащих эти величины.

Запишем закон сохранения заряда: \[Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0.\tag{1}\] Выразим разность потенциалов между обкладками конденсатора через потенциалы на границе сферических поверхностей конденсатора: \[\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{Q_1}{R} + \dfrac{Q_2}{2R} + \dfrac{Q_3}{3R}\right) = U.\tag{2}\] Плотности тока \(j\) по обе стороны границы, разделяющей вещества с \(\rho_1\) и \(\rho_2\), одинаковы: \[j_1 = j_2.\tag{3}\] Плотность тока находим из закона Ома для участка цепи — сферического слоя толщины \(\Delta R\): \[j = \dfrac{I}{S} = \dfrac{\Delta U}{S\Delta r} = \dfrac{E\Delta R}{S\dfrac{\rho\Delta R}{S}} = \dfrac{E}{\rho},\tag{4}\] где \(S\) — площадь поверхности сферического слоя, \(E\) — напряжённость электрического поля, \(\Delta r\) — сопротивление сферического слоя.

С учётом (4) выражение (3) представим в виде \[\dfrac{1}{\rho}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_1}{(2R)^2} = \dfrac{1}{2\rho}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{Q_1}{(2R)^2} + \dfrac{Q_2}{(2R)^2}\right).\tag{5}\] Отсюда получим \[Q_1 = Q_2.\tag{6}\] Из (1), (2) и (6) находим \[Q_2 = \dfrac{24}{5}\pi\varepsilon_0UR.\] Плотность тока вблизи обкладки радиуса \(R\) равна \[j = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0R^2} = \dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{U}{\rho R}.\] Тогда сила тока, текущего через конденсатор, \[I = j\cdot 4\pi R^2 = \dfrac{24\pi}{5}\dfrac{UR}{\rho}.\]