Пчёлка

Ускорение центростремительное: \(a = \omega v\), где \(\omega\) — угловая скорость поворота вектора напряжённости; угол поворота найдите по малой поперечной составляющей поля при небольшом смещении.

\(a = \dfrac{3v^2}{2l}\sin\gamma\).

Искомое центростремительное ускорение найдём по формуле \(a = \omega v\), где \(\omega\) — угловая скорость поворота вектора скорости, совпадающая с угловой скоростью поворота вектора напряжённости.

Выберем начало системы координат в середине отрезка, соединяющего заряды, ось \(x\) направим в сторону отрицательного заряда (обозначим его \(-q\)), а ось \(y\) — в сторону точки \(A\), в которой находилась пчёлка, когда она была равноудалена от зарядов.

Напряжённость поля в точке \(A\) направлена вдоль оси \(x\) и имеет вид \[E = E_x = 2\cdot\dfrac{kq}{r^2}\cdot\dfrac{l}{r} = \dfrac{2kql}{r^3},\] где \(r\) — расстояние от точки \(A\) до каждого из зарядов.

При смещении пчёлки из точки \(A\) на малое расстояние \(x\) вдоль силовой линии можно пренебречь изменением \(E_x\), но нельзя пренебречь изменением \(E_y\), так как до смещения эта составляющая поля была нулевой.

Обозначив через \(y\) координату точки \(A\), выразим \(E_y\) после смещения: \[E_y = \dfrac{kq}{(l + x)^2 + y^2}\cdot\dfrac{y}{\sqrt{(l + x)^2 + y^2}} - \dfrac{kq}{(l - x)^2 + y^2}\cdot\dfrac{y}{\sqrt{(l - x)^2 + y^2}}.\] Используя соотношение \(r^2 = l^2 + y^2\) и приближённую формулу из условия, преобразуем полученное выражение: \[E_y = \dfrac{kqy}{r^3}\left(\left(1 + \dfrac{2lx}{r^2}\right)^{-3/2} - \left(1 - \dfrac{2lx}{r^2}\right)^{-3/2}\right) \approx -\dfrac{6kqlxy}{r^5}.\] Отсюда найдём угол поворота вектора напряжённости при смещении: \[\varphi \approx \left|\dfrac{E_y}{E_x}\right| \approx \dfrac{3xy}{r^2}.\] Пусть \(t\) — время смещения пчёлки, тогда можно записать выражение \[\omega = \dfrac{\varphi}{t} \approx \dfrac{3yv}{r^2} = \dfrac{3v}{l}\cdot\sin\dfrac{\gamma}{2}\cos\dfrac{\gamma}{2} = \dfrac{3v}{2l}\sin\gamma,\] где использованы формулы \[x = vt,\qquad \sin\dfrac{\gamma}{2} = \dfrac{l}{r},\qquad \cos\dfrac{\gamma}{2} = \dfrac{y}{r}.\] Таким образом, окончательный ответ имеет вид \[a = \dfrac{3v^2}{2l}\sin\gamma.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.