Самый быстрый серийный автомобиль

На максимальной скорости мощность двигателя равна произведению силы сопротивления на скорость; сила — квадратичная функция скорости без свободного члена, так что трёх известных пар «мощность — скорость» хватает для её коэффициентов.

1) \(N_3 = \dfrac{v_1^2N_2 - v_2^2N_1}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)}\,v_3^3 + \dfrac{v_2^3N_1 - v_1^3N_2}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)}\,v_3^2 \approx 1{,}35\cdot10^3\) л.с.;  2) \(k \approx \dfrac{v_2^3N_1 - v_1^3N_2}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)} \approx 2{,}5\cdot10^{-3}\ \dfrac{\text{л.с.}}{(\text{км/ч})^2}\).

Квадратичная зависимость силы \(F\) сопротивления воздуха от скорости \(v\) автомобиля имеет вид \[F(v) = av^2 + bv + c,\] где \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые коэффициенты. На покоящийся автомобиль сила сопротивления не действует, значит, \(c = 0\).

Выразим зависимость мощности от скорости в виде \[N(v) = Fv = av^3 + bv^2\] и применим её в каждом из трёх случаев: \[\begin{cases} N_1 = av_1^3 + bv_1^2,\\ N_2 = av_2^3 + bv_2^2,\\ N_3 = av_3^3 + bv_3^2, \end{cases}\] откуда находим коэффициенты и искомую мощность: \[a = \dfrac{v_1^2N_2 - v_2^2N_1}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)} \approx 9{,}2\cdot10^{-6}\ \dfrac{\text{л.с.}}{(\text{км/ч})^3},\] \[b = \dfrac{v_2^3N_1 - v_1^3N_2}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)} \approx 2{,}5\cdot10^{-3}\ \dfrac{\text{л.с.}}{(\text{км/ч})^2},\] \[N_3 = av_3^3 + bv_3^2 = \dfrac{v_1^2N_2 - v_2^2N_1}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)}\cdot v_3^3 + \dfrac{v_2^3N_1 - v_1^3N_2}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)}\cdot v_3^2 \approx 1{,}35\cdot10^3\text{ л.с.}\] Искомый коэффициент \(k\) равен производной \(dF/dv\) при \(v \approx 0\): \[k \approx b = \dfrac{v_2^3N_1 - v_1^3N_2}{v_1^2v_2^2(v_2 - v_1)} \approx 2{,}5\cdot10^{-3}\ \dfrac{\text{л.с.}}{(\text{км/ч})^2}.\] Примечание. В задаче использованы реальные параметры автомобиля: https://ru.wikipedia.org/wiki/Bugatti_Veyron.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.