Закон отражения

Отражение от движущегося зеркала равносильно отражению от эквивалентного неподвижного зеркала; для длины волны используйте сохранение проекции импульса фотонов на плоскость зеркала.

1) \(\varphi = 2\operatorname{arctg}\left(\dfrac{v\sin\alpha}{c + v\cos\alpha}\right)\);  2) \(\lambda = \lambda_0\cdot\dfrac{\sin(\alpha - \varphi)}{\sin\alpha}\).

Пусть падающая волна достигла некоторых точек \(A\) и \(B\) одновременно (то есть они принадлежат одному волновому фронту, перпендикулярному направлению распространения волны) и точка \(A\) лежит на зеркале в этот момент времени (назовём его начальным), тогда отрезок \(AB\) образует с зеркалом угол \(\alpha\). Пусть идущий через точку \(B\) луч встретился с движущимся зеркалом в точке \(C\) через некоторое время \(t\), тогда можно заранее для дальнейших расчётов записать \(BC \perp AB\) и \(BC = ct\), где \(c\) — скорость света.

Отражённая от движущегося зеркала волна будет распространяться так же, как и волна, отражённая от эквивалентного неподвижного зеркала \(AC\), поэтому искомый угол \(\varphi\) равен удвоенному углу между движущимся и эквивалентным зеркалами, что позволяет решить задачу чисто геометрически.

Пусть \(D\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(C\) к зеркалу в начальный момент времени, тогда справедливо \(CD \perp AD\) и \(CD = vt\), так как зеркало сместилось на величину \(DC\) за время \(t\). Опустим перпендикуляр \(DE\) из точки \(D\) к отрезку \(AB\) и перпендикуляр \(CF\) из точки \(C\) к отрезку \(DE\), запишем выражение \[AD = \dfrac{ED}{\sin\alpha} = \dfrac{EF + FD}{\sin\alpha} = \dfrac{BC + CD\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{c + v\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot t\] и найдём искомый угол: \[\varphi = 2\operatorname{arctg}\left(\dfrac{CD}{AD}\right) = 2\operatorname{arctg}\left(\dfrac{v\sin\alpha}{c + v\cos\alpha}\right).\] Электромагнитную волну можно рассматривать как поток фотонов, каждый из которых имеет импульс \(h/\lambda_0\) в падающей волне и \(h/\lambda\) в отражённой, где \(h\) — постоянная Планка. Из условия сохранения проекции импульса на плоскость зеркала \[\dfrac{h}{\lambda_0}\cdot\sin\alpha = \dfrac{h}{\lambda}\cdot\sin(\alpha - \varphi)\] находим длину отражённой волны: \[\lambda = \lambda_0\cdot\dfrac{\sin(\alpha - \varphi)}{\sin\alpha}.\] Методы СТО. Используя преобразования Лоренца из СТО (специальной теории относительности), решим эту же задачу другим способом: перейдём в систему отсчёта зеркала, изменим знак перпендикулярной зеркалу проекции импульса, вернёмся в лабораторную систему отсчёта.

Направим ось \(x\) перпендикулярно зеркалу навстречу волне, а ось \(y\) — вдоль зеркала в плоскости падения, тогда энергия и проекции импульса падающих фотонов примут вид \[E_0 = \dfrac{hc}{\lambda_0},\qquad p_{0x} = -\dfrac{h\cos\alpha}{\lambda_0},\qquad p_{0y} = \dfrac{h\sin\alpha}{\lambda_0}.\] Введём обычные для СТО обозначения \[\beta = \dfrac{v}{c},\qquad \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}\] и с помощью обратных преобразований Лоренца выразим энергию и проекции импульса падающих фотонов в системе отсчёта зеркала: \[E_0' = \gamma(E_0 - \beta cp_{0x}) = \dfrac{\gamma hc}{\lambda_0}(1 + \beta\cos\alpha),\] \[p_{0x}' = \gamma\left(p_{0x} - \beta\dfrac{E_0}{c}\right) = -\dfrac{\gamma h}{\lambda_0}(\beta + \cos\alpha),\] \[p_{0y}' = p_{0y} = \dfrac{h\sin\alpha}{\lambda_0}.\] Энергия и проекции импульса отражённых фотонов в системе отсчёта зеркала имеют вид \[E' = E_0' = \dfrac{\gamma hc}{\lambda_0}(1 + \beta\cos\alpha),\] \[p_x' = -p_{0x}' = \dfrac{\gamma h}{\lambda_0}(\beta + \cos\alpha),\] \[p_y' = p_{0y}' = \dfrac{h\sin\alpha}{\lambda_0}.\] С помощью прямых преобразований Лоренца выразим эти же величины в лабораторной системе отсчёта: \[E = \gamma(E' + \beta cp_x') = \dfrac{\gamma^2hc}{\lambda_0}(1 + 2\beta\cos\alpha + \beta^2),\] \[p_x = \gamma\left(p_x' + \beta\dfrac{E'}{c}\right) = \dfrac{\gamma^2h}{\lambda_0}\bigl(2\beta + (1 + \beta^2)\cos\alpha\bigr),\] \[p_y = p_y' = \dfrac{h\sin\alpha}{\lambda_0}.\] Отсюда находим искомые величины (значение \(p_x\) не участвует в расчётах и было выписано выше лишь для красоты): \[\lambda = \dfrac{hc}{E} = \dfrac{\lambda_0}{\gamma^2(1 + 2\beta\cos\alpha + \beta^2)} = \dfrac{\lambda_0(c^2 - v^2)}{c^2 + 2cv\cos\alpha + v^2},\] \[\varphi = \alpha - \arcsin\left(\dfrac{p_yc}{E}\right) = \alpha - \arcsin\left(\dfrac{(c^2 - v^2)\sin\alpha}{c^2 + 2cv\cos\alpha + v^2}\right).\] Можно убедиться, что эти выражения могут быть преобразованы к виду, в котором были получены ответы геометрическим способом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.