Вынимание шаров

Минимальная работа равна изменению потенциальной энергии системы; учтите, что в узком сосуде шары не смогут оказаться центрами на одной высоте.

\(A = \max(\Delta E;\,0)\), где \(\Delta E = \Delta W_1 + \Delta W_2 + \Delta E_1 + \Delta E_2\) (выражения слагаемых — в решении).

Минимальная необходимая для вынимания шаров работа равна изменению потенциальной энергии системы, которая складывается из увеличения энергии шаров и уменьшения энергии жидкостей, так как их центры масс опускаются, когда жидкости занимают объём, ранее вытесненный шарами.

Если размер сосуда позволяет шарам поместиться, имея центры на одной высоте, то можно вынуть шары так, что они будут касаться поверхности верхней жидкости. Однако если сосуд слишком узкий (\(a\) меньше некоторого \(a_0\)), то центр верхнего шара будет всегда выше центра нижнего шара. Разность \(\Delta h\) высот центров шаров будет минимальной, когда шары касаются стенок сосуда и друг друга, то есть центр одного шара будет на расстоянии \(R_1\) от двух перпендикулярных стенок сосуда, а центр другого — на расстоянии \(R_2\) от двух других стенок. Поскольку расстояние между центрами касающихся шаров равно сумме их радиусов, можно записать трёхмерную теорему Пифагора: \[\Delta h^2 + (a - R_1 - R_2)^2 + (a - R_1 - R_2)^2 = (R_1 + R_2)^2,\] откуда находим искомое различие высот \[\Delta h = \sqrt{(R_1 + R_2)^2 - 2(a - R_1 - R_2)^2}\] и условие, при котором оно возникает: \[a < a_0 = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}(R_1 + R_2).\] Для расчёта изменения потенциальной энергии верхнего шара потребуется разность \(\Delta H\) высот нижних точек шаров: \[\Delta H = \begin{cases} \Delta h + R_1 - R_2, & \text{если}\quad a < a_0;\\ 0, & \text{если}\quad a \geqslant a_0. \end{cases}\] Из условия постоянства объёмов жидкостей выразим толщины \(h_1\) и \(h_2\) слоёв жидкостей после вынимания шаров: \[h_1 = 2R_1 - \dfrac{4\pi R_1^3}{3a^2},\qquad h_2 = 2R_2 - \dfrac{4\pi R_2^3}{3a^2},\] используя которые, найдём изменения потенциальных энергий жидкостей: \[\Delta W_1 = -a^2h_1w_1g\left(R_1 - \dfrac{h_1}{2}\right),\] \[\Delta W_2 = -a^2h_2w_2g\left(2R_1 + R_2 - h_1 - \dfrac{h_2}{2}\right).\] Изменения потенциальных энергий шаров имеют вид \[\Delta E_1 = \dfrac{4}{3}\pi R_1^3\rho_1g(h_1 + h_2),\] \[\Delta E_2 = \dfrac{4}{3}\pi R_2^3\rho_2g(h_1 + h_2 - 2R_1 + \Delta H).\] Запишем суммарное изменение потенциальной энергии системы: \[\Delta E = \Delta W_1 + \Delta W_2 + \Delta E_1 + \Delta E_2.\] Заметим, что возможна ситуация (маленький тяжёлый верхний шар в узком сосуде), когда из-за отрицательного значения \(\Delta E_2\) полное изменение \(\Delta E\) тоже окажется отрицательным, однако необходимая работа не может быть отрицательной, поэтому окончательный ответ имеет вид \[A = \max(\Delta E;\,0).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.