Волшебная тепловая машина

Число атомов в молекуле определяет число степеней свободы: озон нелинеен и имеет три вращательные степени свободы, а при превращении сохраняется масса и внутренняя энергия; превращение удобно делать на изохорах.

1) \(\eta_1 = \dfrac{2}{19}\);  2a) \(k_1 = \dfrac{5}{4}\);  2b) \(k_2 = \dfrac{5}{6}\);  3) \(\eta_2 = \dfrac{1}{9}\).

1. Работа \(A\) газа за цикл равна площади, ограниченной графиком цикла в \(PV\)-координатах: \[A = PV.\] Подведённое за цикл количество теплоты \(Q_1\) выразим, применив первое начало термодинамики для изохорического нагревания и изобарического расширения: \[Q_1 = \dfrac{5}{2}(2P\cdot2V - P\cdot V) + 2P\cdot(2V - V) = \dfrac{19}{2}PV.\] Искомый КПД найдём по определению: \[\eta_1 = \dfrac{A}{Q_1} = \dfrac{2}{19}.\] 2. Молекула озона состоит из трёх атомов и не является линейной, а потому имеет три вращательные степени свободы. Из условия сохранения массы при описанном превращении кислорода в озон следует, что кислород в количестве \(\nu\) превращается в озон в количестве \(2\nu/3\). Пусть \(P_1\), \(T_1\), \(P_2\) и \(T_2\) — давление и температура соответственно до и после превращения, \(V_0\) — объём (одинаковый до и после превращения), тогда из условия неизменности внутренней энергии \(U\) можно записать уравнения \[U = \dfrac{5}{2}\nu RT_1 = \dfrac{6}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\nu\cdot RT_2, \qquad U = \dfrac{5}{2}P_1V_0 = \dfrac{6}{2}P_2V_0,\] откуда \[k_1 = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{5}{4},\qquad k_2 = \dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{5}{6}.\] 3. При описанном превращении не совершается работа, так как не изменяется объём, что с учётом неизменности внутренней энергии означает (согласно первому началу термодинамики) отсутствие теплообмена. Однако при этом превращении газ скачкообразно переходит в новое состояние на той же изохоре, что позволяет уменьшить теплообмен с нагревателем и холодильником: в ходе повышения давления при постоянном объёме \(V\) нужно превращать озон в кислород, а в ходе понижения давления при постоянном объёме \(2V\) — кислород в озон.

Из-за неизменности внутренней энергии при превращении неважно, в какой именно момент выполнять превращение, поэтому можно считать, что при объёме \(V\) озон под давлением \(P\) превращается в кислород под давлением \(1{,}2P\). Подведённое за цикл количество теплоты имеет вид \[Q_2 = \dfrac{5}{2}(2P\cdot2V - 1{,}2P\cdot V) + 2P\cdot(2V - V) = 9PV.\] Искомый КПД найдём по определению: \[\eta_2 = \dfrac{A}{Q_2} = \dfrac{1}{9}.\] Примечание. Превращение кислорода в озон — это эндотермическая химическая реакция, для осуществления которой нужно количество теплоты, десятой доли которого хватило бы для нагревания кислорода более чем на тысячу градусов. Если учесть это количество теплоты, КПД упадёт практически до нуля, то есть никакого «улучшения» не будет и в помине.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.