Бегущий источник

Движение источника параллельно оси; выразите координаты изображения через \(a\) по формуле тонкой линзы и продифференцируйте их по времени.

\(a = f + \sqrt[4]{f^2(f^2 + h^2)}\).

Если источник движется с постоянным вектором ускорения и при этом остаётся на одном расстоянии от некоторой прямой, то он движется параллельно данной прямой.

Из формулы тонкой линзы выразим расстояние \(x\) от линзы до изображения и расстояние \(y\) от изображения до главной оптической оси: \[x = \dfrac{af}{a - f},\qquad y = -\dfrac{x}{a}\cdot h = \dfrac{fh}{f - a}.\] Проекции \(v_x\) и \(v_y\) скорости изображения вдоль и поперёк главной оптической оси найдём путём дифференцирования координат по времени: \[v_x = \dot{x} = -\dfrac{f^2\dot{a}}{(a - f)^2},\qquad v_y = \dot{y} = \dfrac{fh\dot{a}}{(f - a)^2}.\] Из условия равенства модулей скоростей источника и изображения \[\dot{a}^2 = v_x^2 + v_y^2\] записываем уравнение \[\dot{a}^2 = \dfrac{f^4\dot{a}^2 + f^2h^2\dot{a}^2}{(a - f)^4},\] решая которое, получаем ответ: \[a = f + \sqrt[4]{f^2(f^2 + h^2)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.