Башня из кубиков

Сравните при малом наклоне верхней пластины момент силы тяжести кубиков, стремящийся её опрокинуть, с возвращающим моментом сил упругости пружин.

\(N = \left[\sqrt{\dfrac{2ka}{mg}}\right]\), где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Поворот вокруг любой горизонтальной оси, проходящей через центр верхней пластины, можно представить в виде суперпозиции поворотов вокруг двух горизонтальных осей, проходящих через середины противоположных сторон этой пластины, поэтому достаточно исследовать устойчивость положения равновесия относительно поворота вокруг одной из таких осей.

Пусть \(\varphi\) — малый угол поворота верхней пластины вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон этой пластины, тогда момент силы тяжести кубиков относительно центра пластины имеет вид \[M_1 = Nmg\cdot\dfrac{Na\varphi}{2} = \dfrac{1}{2}mga\varphi N^2,\] а суммарный момент сил упругости всех четырёх пружин задаётся формулой \[M_2 = 4\cdot\left(k\cdot\dfrac{a\varphi}{2}\right)\cdot\dfrac{a}{2} = ka^2\varphi.\] Положение равновесия будет устойчивым, если возвращающий момент \(M_2\) будет больше отклоняющего момента \(M_1\), то есть при условии \[ka^2\varphi > \dfrac{1}{2}mga\varphi N^2, \qquad \text{откуда}\qquad N < \sqrt{\dfrac{2ka}{mg}}.\] Таким образом, окончательный ответ имеет вид \[N = \left[\sqrt{\dfrac{2ka}{mg}}\right],\] где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Примечание. Внимательный читатель мог заметить, что целая часть числа (наибольшее целое число, не превосходящее данное) может оказаться равна данному числу (а не меньше его), но эта формальная математическая неточность не играет роли, так как вероятность того, что непрерывно распределённая физическая величина примет целочисленное значение, равна нулю.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.