Нагрев цилиндра с поршнем

Давления газов равны, а суммарный объём постоянен; работа левого газа равна работе над правым газом в изотермическом процессе, и вся отданная правым теплота равна этой работе.

1) \(x = 1 + \dfrac{3(a-1)}{2\ln\frac{a+1}{2}}\);  2) \(x_0 = 4\).

Пусть \(\nu\) — количество каждого газа, \(T\), \(P_0\) и \(V_0\) — их начальные температура, давление и объём соответственно, \(P\) — их конечное давление (одинаковое, так как поршень движется без трения), \(V_1\) и \(V_2\) — конечные объёмы левого и правого газов соответственно, тогда из уравнения Менделеева–Клапейрона для конечных состояний газов \[\dfrac{PV_1}{\nu aT} = \text{const} = \dfrac{PV_2}{\nu T}\] и условия постоянства суммарного объёма газов \[V_1 + V_2 = 2V_0\] выразим конечный объём правого газа: \[V_2 = \dfrac{2V_0}{a + 1}.\] Работу \(A\) левого газа можно найти как работу над правым газом в изотермическом процессе: \[A = -\nu RT\ln\dfrac{V_2}{V_0} = \nu RT\ln\dfrac{a + 1}{2}.\] Из первого начала термодинамики найдём подведённое к левому и отведённое от правого газов количества теплоты \(Q_1\) и \(Q_2\) соответственно: \[Q_1 = \dfrac{3}{2}\nu R(aT - T) + A = \nu RT\left(\dfrac{3}{2}(a - 1) + \ln\dfrac{a + 1}{2}\right),\] \[Q_2 = A = \nu RT\ln\dfrac{a + 1}{2}.\] Таким образом, окончательный ответ имеет вид \[x = \dfrac{Q_1}{Q_2} = 1 + \dfrac{3(a - 1)}{2\ln\frac{a+1}{2}}.\] Чтобы найти \(x_0\), используя уже полученный результат для \(x\), сделаем замену \(a = 1 + b\), где \(b\) — бесконечно малое относительное изменение температуры левого газа, и вычислим предел: \[x_0 = \lim_{b\to0}x = \lim_{b\to0}\left(1 + \dfrac{3b}{2\ln\left(1 + \frac{b}{2}\right)}\right) = \lim_{b\to0}\left(1 + \dfrac{3b}{2\cdot\frac{b}{2}}\right) = 4.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.