Цикл с гелием: изобара, изохора, адиабата

Оцените отдаваемое холодильнику тепло снизу, сравнив его с изохорным охлаждением от начальной температуры изобары.

Больше 50% не может; максимально возможный КПД равен 40% (к нему можно приблизиться сколь угодно близко).

Изобразим цикл, проводимый с \(\nu\) молями гелия, на \(pV\)-диаграмме (см. рисунок): 1–2 — изобара, 2–3 — изохора, 3–1 — адиабата.

Пусть \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) — температуры гелия в точках 1, 2 и 3 по термодинамической шкале. Поскольку изобарная теплоёмкость порции гелия, содержащей \(\nu\) молей, равна \(2{,}5\nu R\), гелий на участке 1–2 получает от нагревателя количество теплоты \(Q^+ = 2{,}5\nu R(T_2 - T_1)\). Изохорная теплоёмкость данной порции гелия равна \(1{,}5\nu R\), поэтому на участке 2–3 гелий отдаёт холодильнику количество теплоты \(Q^- = 1{,}5\nu R(T_2 - T_3)\). При адиабатном сжатии температура гелия повышается (\(T_1 > T_3\)), поэтому \(Q^- > 1{,}5\nu R(T_2 - T_1)\).

Отсюда \(\dfrac{Q^-}{Q^+} > \dfrac{3}{5}\), и \(\eta = 1 - \dfrac{Q^-}{Q^+} < 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\%\).

Покажем, что к значению КПД \(\eta = 40\%\) можно приблизиться сколь угодно близко. Пусть температура газа на участке 1–2 возрастает в \(n\) раз: \(T_2 = nT_1\). Тогда \(Q^+ = 2{,}5\nu R(n - 1)T_1\), а, поскольку \(T_3 > 0\), то \(Q^- < 1{,}5\nu RT_2 = 1{,}5\nu RnT_1\). Тогда \[\eta = 1 - \dfrac{Q^-}{Q^+} > 1 - \dfrac{3}{5}\dfrac{n}{n - 1} = 0{,}4 - \dfrac{3}{5(n - 1)}.\] Следовательно, выбирая достаточно большое \(n\), можно приблизиться к предельному значению \(\eta = 40\%\) сколь угодно близко.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.