Провод с током в магнитном поле

Рассмотрите половину провода и найдите силу Ампера, сложив её по малым отрезкам: компоненты зависят только от разностей координат концов.

\(T = IBh + \dfrac{mg + IBL}{2}\operatorname{ctg}\alpha\).

Обозначим нижнюю точку провода через \(A\), верхние точки — через \(B\) и \(C\) (см. рисунок). Введём в плоскости провода декартову прямоугольную систему координат, направив ось \(X\) вправо, ось \(Y\) — вверх; обозначим координаты точек \(A\) и \(C\) как \((x_A; y_A)\) и \((x_C; y_C)\).

Рассмотрим участок провода \(AC\). На него действуют направленная вниз сила тяжести \(\dfrac{m\vec g}{2}\), направленная влево сила \(\vec T\) натяжения нити в нижней точке \(A\), направленная под углом \(\alpha\) к горизонту сила натяжения нити \(\vec F\) и сила Ампера \(\vec F^{\text{магн}}\), действующая со стороны магнитного поля. Запишем условие равновесия системы в проекциях на оси \(X\) и \(Y\): \[F_x^{\text{магн}} + F\cos\alpha - T = 0,\qquad F_y^{\text{магн}} + F\sin\alpha - \dfrac{mg}{2} = 0.\] Выражая из второго соотношения неизвестную величину силы \(F\) и подставляя её в первое уравнение, находим искомую силу натяжения нити: \[T = F_x^{\text{магн}} + \left(\dfrac{mg}{2} - F_y^{\text{магн}}\right)\operatorname{ctg}\alpha.\] Для получения ответа остаётся найти компоненты силы Ампера \(\vec F^{\text{магн}}\). Рассмотрим маленький отрезок провода длиной \(\Delta l\), составляющий угол \(\gamma\) с горизонтом и расположенный между точками с координатами \((x; y)\) и \((x + \Delta x; y + \Delta y)\), где \(\Delta x = \Delta l\cdot\cos\gamma\), \(\Delta y = \Delta l\cdot\sin\gamma\) (см. рисунок).

На этот участок действует сила Ампера \(\Delta\vec F^{\text{магн}}\), равная по модулю \(IB\Delta l\) и направленная под углом \(\gamma\) к вертикали. Эта сила имеет компоненты \[\begin{align*} \Delta F_x^{\text{магн}} &= \Delta F^{\text{магн}}\sin\gamma = IB\Delta l\sin\gamma = IB\Delta y;\\ \Delta F_y^{\text{магн}} &= -\Delta F^{\text{магн}}\cos\gamma = -IB\Delta l\cos\gamma = -IB\Delta x. \end{align*}\] Складывая силы Ампера, действующие на все малые отрезки участка \(AC\) провода, находим: \[\begin{align*} F_x^{\text{магн}} &= IB(y_C - y_A) = IBh;\\ F_y^{\text{магн}} &= -IB(x_C - x_A) = -IB\dfrac{L}{2}. \end{align*}\] Подставляя результат в формулу для силы натяжения провода, приходим к ответу: \[T = IBh + \dfrac{mg + IBL}{2}\operatorname{ctg}\alpha.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.