Заряды в вершинах многоугольника

Сложите исходную систему зарядов, её копию, повёрнутую на \(2\pi/N\) и с обратными знаками, и систему одинаковых зарядов \(-q\) во всех вершинах: останется один заряд.

\(E = \dfrac{Nq}{8\pi\varepsilon_0 R^2\sin\dfrac{\pi}{N}}\).

Пронумеруем вершины многоугольника как \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_N\) (см. рисунок); тогда в вершине \(A_k\) находится заряд \(kq\). Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её на угол \(\dfrac{2\pi}{N}\) так, чтобы точка \(A_k\) перешла в точку \(A_{k+1}\), и изменим знаки зарядов — получим систему зарядов 2 (см. рисунок).

Рассмотрим также систему зарядов 3, состоящую из \(N\) одинаковых зарядов \(-q\), размещённых в вершинах данного многоугольника.

Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как \(\vec E_1\), системой 2 — как \(\vec E_2\). Вектор \(\vec E_2\) получается из \(\vec E_1\) поворотом на угол \(\dfrac{2\pi}{N}\) и изменением направления на противоположное. Система зарядов 3 создаёт в центре многоугольника нулевую напряжённость электрического поля.

Наложим теперь системы зарядов 1, 2 и 3 друг на друга, получив систему зарядов <<1+2+3>>. В ней все заряды, кроме расположенных в точке \(A_1\), будут скомпенсированы, поэтому система <<1+2+3>> состоит из одного заряда величиной \(-Nq\) в точке \(A_1\). Система <<1+2+3>> создаёт в центре многоугольника электрическое поле напряжённостью \(|\vec E_{1+2+3}| = |\vec E_{1+2}| = \dfrac{Nq}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\). С другой стороны, вектор напряжённости \(\vec E_{1+2}\) можно получить, складывая векторы \(\vec E_1\) и \(\vec E_2\) по правилу параллелограмма (см. рисунок). Используя теорему косинусов, находим: \[|\vec E_{1+2}|^2 = |\vec E_1|^2 + |\vec E_2|^2 - 2|\vec E_1|\cdot|\vec E_2|\cdot\cos\dfrac{2\pi}{N} = E^2 + E^2 - 2E^2\cos\dfrac{2\pi}{N} = 2E^2\left(1 - \cos\dfrac{2\pi}{N}\right) = 4E^2\sin^2\dfrac{\pi}{N}.\] Следовательно, \(2E\sin\dfrac{\pi}{N} = \dfrac{Nq}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\), и \(E = \dfrac{Nq}{8\pi\varepsilon_0 R^2\sin\dfrac{\pi}{N}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.