Тепловая машина с циклом 1–2–3

КПД равен работе за цикл, делённой на теплоту, полученную за цикл. Работа равна площади цикла, теплоту считайте по участкам 1–2 и 2–3, где газ получает тепло.

Состояния: \(1 = (V, P)\), \(2 = (V, nP)\), \(3 = (nV, nP)\) (продолжение линии 1–3 проходит через начало координат, поэтому давление меняется во столько же раз, что и объём).

Работа за цикл равна площади треугольника \(1\,2\,3\): \[A = \frac{1}{2}(nV - V)(nP - P) = \frac{1}{2}(n-1)^2 PV.\] Теплота, полученная за цикл, — это \(Q = Q_{12} + Q_{23}\) (на участке 3–1 газ отдаёт тепло). Для двухатомного газа \(C_V = \dfrac{5}{2}R\), \(C_P = \dfrac{7}{2}R\). Из уравнения состояния \(PV = RT_1\), \(nPV = RT_2\), \(n^2PV = RT_3\): \[Q_{12} = \frac{5}{2}R\,(T_2 - T_1) = \frac{5}{2}(n-1)PV, \qquad Q_{23} = \frac{7}{2}R\,(T_3 - T_2) = \frac{7}{2}n(n-1)PV,\] \[Q = \frac{1}{2}(n-1)(7n+5)\,PV.\] КПД: \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{(n-1)^2}{(n-1)(7n+5)} = \frac{n-1}{7n+5}.\]