Утка над охотником

Пуля и утка в момент попадания находятся в одной точке в один момент времени: составьте условие совпадения по горизонтали и по высоте.

Пусть в момент выстрела утка находится над точкой, в которую направлен ствол, на высоте \(H\), а горизонтальное расстояние до охотника \(H\operatorname{ctg}\alpha = H\). Тогда в момент попадания \(t\): \[v_0\cos\alpha\, t = H\operatorname{ctg}\alpha + u t, \qquad v_0\sin\alpha\, t - \frac{g t^2}{2} = H.\] Из первого уравнения при \(\alpha = 45^\circ\) получаем \(t = \dfrac{H}{c}\), где \(c = v_0\cos\alpha - u\). Подставляя во второе, находим \[H = \frac{2c\,(v_0\sin\alpha - c)}{g} = \frac{2\,(v_0\cos\alpha - u)\,(v_0\sin\alpha - v_0\cos\alpha + u)}{g}.\] Численно: \(c = 353{,}6 - 10 = 343{,}6\) м/с, \(H = \dfrac{2\cdot 343{,}6\cdot 10}{9{,}8} \approx 701\) м.